当初第一次盯着欧拉公式 $$e^{ix} = \cos(x) + i \sin(x)$$ 发呆的时候，我也满脑子问号：一个用来算复利、描述增长的指数函数，怎么就和单位圆上的三角函数、还有那个“虚构”的虚数i扯到一块儿了？而且你说的没错——e、i、cos/sin各自的定义看起来完全独立，这公式到底是咋来的，为啥它不是强行凑出来的？

首先澄清：这不是人为定义，是推导出来的必然结果！ #

你可能误以为这是数学家拍脑袋把几个符号绑在一起，但实际上，欧拉公式是从这些量的已有定义出发，严格推导出来的结论。咱们从两个最直观的角度拆解：

角度1：泰勒级数展开——它们的级数天生重合 #

所有光滑函数都可以展开成泰勒级数，咱们把这几个函数都拆成级数看看：

• 指数函数的泰勒展开（对任意复数z都成立）：
  $$e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \dots$$
• 把z换成ix（i是虚数单位，满足$i^2=-1$，$i3=-i$，$i^4=1$，以此类推）：
  $$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots$$
• 展开后整理每一项：
  $$e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots$$
• 现在把实部和虚部分开：
  • 实部：$1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$ —— 这正好是$\cos(x)$的泰勒展开！
  • 虚部：$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$ —— 这正好是$\sin(x)$的泰勒展开！
• 把实部和虚部合起来，就得到了$\cos(x) + i\sin(x)$。你看，从级数的角度看，它们本来就是同一个东西的不同部分。

角度2：从e的极限定义看——复数的旋转本质 #

你提到e的定义是$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n$，那$e{ix}$可以写成$\lim_{n \to \infty} (1+\frac{ix}{n})^n$。咱们把这个式子看成复数的多次乘法：

• 当n很大的时候，$(1+\frac{ix}{n})$这个复数在复平面上的位置非常接近(1,0)，它的模长近似是1（因为$\sqrt{1^2 + (\frac{x}{n})^2} \approx 1$），辐角（和实轴的夹角）近似是$\frac{x}{n}$（因为小角度下$\tan\theta \approx \theta$，这里对边是$\frac{x}{n}$，邻边是1）。
• 复数相乘的规则是：模长相乘，辐角相加。那把这个复数乘n次之后，模长就是$1^n=1$，辐角就是$n \times \frac{x}{n}=x$。
• 而在复平面上，模长为1、辐角为x的复数，对应的坐标就是$(\cos x, \sin x)$，也就是$\cos(x) + i\sin(x)$。这就从极限的角度推导出了欧拉公式。

为啥这个公式这么重要？ #

它的价值在于把三个看似无关的数学领域——指数函数（分析）、三角函数（几何）、复数（代数）——用一个简洁的式子联系起来了：

• 简化复数运算：比如两个复数相乘，用欧拉公式的话，$e^{ix} \times e^{iy} = e^{i(x+y)}$，对应的就是$\cos(x+y) + i\sin(x+y)$，比直接展开$(cosx + i sinx)(cosy + i siny)$简单太多，还能直接导出三角恒等式。
• 微积分里的便利：对$e^{ix}$求导得到$i e^{ix}$，而对$\cos(x)+i\sin(x)$求导得到$-\sin(x)+i\cos(x)=i(\cos(x)+i\sin(x))$，结果完全一致，说明这个联系是自洽的。
• 工程和物理的基础：信号处理里的傅里叶变换、量子力学里的波函数，都依赖欧拉公式把周期信号/波动用指数形式表示，大大简化了分析过程。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user525966