嘿，这个问题真的戳中了台球桌动力学里很有意思的一个反差点——完全能理解你为啥意外：圆形台球桌是标准的可积系统，所有轨迹要么周期要么准周期，相邻轨迹只会平行移动，根本不会指数发散，所以Lyapunov指数稳稳为0；而体育场台球桌靠直边+半圆的组合打破了可积性，直接引入混沌，指数非零，这种从“完全规则”到“混沌”的跳跃确实容易让人好奇有没有更“朴素”的例子。

答案是肯定的，而且确实有结构简单、能像圆形台球桌那样用直接几何方法证明Lyapunov指数为正的台球桌，给你举两个最经典的：

1. 带内部圆形障碍物的圆形台球桌 #

这个结构几乎就是圆形的“微小修改版”：一个大的圆形外边界，内部放一个不与外边界接触的小圆形障碍物（放在中心就行，不用搞复杂的位置）。

证明思路特别直接，和你分析圆形台球桌的逻辑几乎对称：

• 圆形台球桌里，轨迹每次碰到边界都是镜面反射，相邻轨迹的偏差只会平移，不会放大；
• 加入内部圆形障碍物后，轨迹碰到障碍物时的反射会变成偏差放大器：假设两条初始偏差极小的轨迹同时击中障碍物的某点，它们的入射角有细微差别，根据反射定律，障碍物的圆形曲率会把这个微小的入射角差异放大成更大的反射角差异——相当于把“接近的轨迹”往两边“掰”开；
• 每次碰到障碍物，偏差都会被一个大于1的固定因子放大，经过n次反弹后，偏差就是初始值乘以这个因子的n次方，这完全符合Lyapunov指数为正的定义（轨迹指数分离）。

2. 切去一小段弧的圆形台球桌 #

这个结构比上面的更“简约”：就是把标准圆形台球桌的某一段短弧用直弦切掉，形成一个小小的直边。

证明同样直观：

• 圆形边界的反射会保持轨迹的平行性，偏差不会累积；
• 当轨迹碰到那一小段直边时，反射规则变了——直边的反射不会像圆弧那样“收拢”轨迹，反而会让相邻轨迹的偏差被放大；
• 反复经过直边反射后，偏差会指数级增长，直接推导出Lyapunov指数为正。

这些例子的证明都不需要复杂的遍历理论或者高深的混沌工具，只用基本的几何反射定律和偏差分析就能搞定，完全符合你说的“极为直接的方式证明”的要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathvc_