嘿，这个问题问到点子上了！这个等式是黎曼ζ函数的核心基本性质之一，咱们从它的定义和复数共轭的规则入手，一步步就能推出来：

第一步：在收敛域 ( \text{Re}(s) > 1 ) 下证明 #

当复数 ( s ) 的实部 ( \text{Re}(s) > 1 ) 时，黎曼ζ函数的定义是绝对收敛的无穷级数：

ζ(s) = ∑_{n=1}^∞ 1/n^s

我们可以利用复数共轭的几个关键性质来推导：

• 共轭的和等于和的共轭：( \overline{a + b} = \overline{a} + \overline{b} )（这个性质对绝对收敛的无穷级数同样适用）
• 对于正整数 ( n )（实数），( \overline{n^s} = n^{\overline{s}} )：因为 ( n^s = e^{s \ln n} )，取共轭后 ( \overline{e^{s \ln n}} = e^{\overline{s \ln n}} = e^{\overline{s} \ln n} = n^{\overline{s}} )（这里用到了 ( \overline{e^z} = e^{\overline{z}} ) 的指数函数共轭性质）
• 倒数的共轭等于共轭的倒数：( \overline{1/z} = 1/\overline{z} )（当 ( z \neq 0 ) 时）

把这些性质代入级数表达式：

\overline{ζ(s)} = \overline{∑_{n=1}^∞ 1/n^s} = ∑_{n=1}^∞ \overline{1/n^s} = ∑_{n=1}^∞ 1/\overline{n^s} = ∑_{n=1}^∞ 1/n^{\overline{s}} = ζ(\overline{s})

这样就在 ( \text{Re}(s) > 1 ) 的收敛区域内证明了等式成立。

第二步：拓展到整个复平面（除极点 ( s=1 )） #

黎曼ζ函数可以通过解析延拓扩展到整个复平面，仅在 ( s=1 ) 处存在一个一阶极点。这时候我们借助解析函数的唯一性定理：如果两个解析函数在一个非空的开集（比如 ( \text{Re}(s) > 1 ) 这个区域）上处处相等，那么它们在整个解析区域内都相等。

这里 ( ζ(\overline{s}) ) 和 ( \overline{ζ(s)} ) 都是复平面上（除 ( s=1 ) 外）的解析函数，既然在 ( \text{Re}(s) > 1 ) 上完全相等，那么在整个定义域内都满足 ( ζ(\overline{s}) = \overline{ζ(s)} )。

联系你观察到的零点性质 #

有了这个等式，就能直接解释你发现的现象：如果 ( ρ ) 是ζ函数的零点（即 ( ζ(ρ)=0 )），那么取共轭后 ( \overline{ζ(ρ)} = \overline{0} = 0 )，而根据上面的等式，( \overline{ζ(ρ)} = ζ(\overline{ρ}) )，所以 ( ζ(\overline{ρ})=0 )，也就是说 ( \overline{ρ} ) 也必然是ζ函数的零点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matija Sreckovic