嘿，你从等式$(a+bi)(c+di)=1$入手的思路完全没问题，咱们把这个推导过程拆得更清楚些：

第一步：引入高斯整数的范数工具 #

高斯整数$z=a+bi$的范数定义为：
N(z) = a² + b²
这个范数有个核心性质：乘法性，也就是对于任意两个高斯整数$z_1,z_2$，都有$N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2)$。

第二步：利用单位的性质推导范数的取值 #

如果$z=a+bi$是$\mathbb{Z}[i]$的单位，那它一定存在逆元$w=c+di$，满足$zw=1$。对等式两边取范数：
$$N(zw)=N(1)$$
根据范数的乘法性，左边就是$N(z)N(w)$，右边$N(1)=1²+0²=1$。

因为$N(z)$和$N(w)$都是非负整数，它们的乘积为1，所以只能是：
$$N(z)=1 \quad \text{且} \quad N(w)=1$$

第三步：求解满足$N(z)=1$的整数解 #

现在解整数方程$a² + b² = 1$：

• 当$a=±1$时，$b²=1-1=0$，即$b=0$，对应高斯整数$1$和$-1$；
• 当$b=±1$时，$a²=1-1=0$，即$a=0$，对应高斯整数$i$和$-i$。

第四步：验证这些元素确实是单位 #

咱们可以直接验证：

• $1×1=1$，$-1×(-1)=1$；
• $i×(-i)= -i²=1$，$-i×i=1$。
  这四个元素都有对应的逆元，符合单位的定义。

补充：从展开等式的角度验证（对应你最初的思路） #

把$(a+bi)(c+di)=1$展开，得到：
$$(ac - bd) + (ad + bc)i = 1 + 0i$$
对比实部和虚部，得到方程组：

• $ac - bd = 1$
• $ad + bc = 0$

从第二个方程，若$a≠0$，则$d=-\frac{bc}{a}$，因为$d$是整数，所以$a$整除$bc$。结合$a²+b²=1$（从范数推导的结论），$a$只能是$±1$，此时$b=0$，代入第一个方程得$c=a$，即逆元就是自身；若$b≠0$，同理可得$b=±1$，$a=0$，此时$c=-b$，逆元就是$-b i$，也就是$-i$或$i$，和之前的结论一致。

所以高斯整数环的单位群就是${1, -1, i, -i}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Shikha Kashyap