嘿，咱们一步步来理清这个问题：

首先解决你的核心疑问：这三个一阶极点确实都在积分路径 (|z-i|=3) 的内部，所以根据留数定理，你必须把这三个奇点的留数全部求和，一个都不能漏。咱们来验证每个奇点到圆心 (i) 的距离：

• 对于 (z=-1)：距离是 (|-1 - i| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414 < 3)，在路径内部；
• 对于 (z=\sqrt{2}i)：距离是 (|\sqrt{2}i - i| = |(\sqrt{2}-1)i| = \sqrt{2}-1 \approx 0.414 < 3)，在路径内部；
• 对于 (z=-\sqrt{2}i)：距离是 (|-\sqrt{2}i - i| = |-(\sqrt{2}+1)i| = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 < 3)，也在路径内部。

接下来，针对一阶极点的留数计算，有两个实用方法供你选择：

方法1：极限法 #

对于一阶极点 (z=a)，留数公式为：
(\text{Res}[f(z),a] = \lim_{z \to a} (z-a)f(z))
比如计算 (z=-1) 的留数：

Res[f(z), -1] = lim(z→-1) (z+1)*1/[(z²+2)(z+1)] = lim(z→-1) 1/(z²+2) = 1/[(-1)²+2] = 1/3

方法2：分式函数快捷公式（更高效） #

如果 (f(z) = \frac{P(z)}{Q(z)})，且 (Q(a)=0)、(Q'(a)≠0)（满足一阶极点条件），那么留数公式简化为：
(\text{Res}[f(z),a] = \frac{P(a)}{Q'(a)})
这里咱们的 (P(z)=1)，(Q(z)=(z²+2)(z+1))，先求导得到：

Q'(z) = 2z(z+1) + (z²+2)*1 = 3z² + 2z + 2

然后逐个计算留数：

• 对 (z=-1)：(\text{Res} = \frac{1}{3*(-1)^2 + 2*(-1) + 2} = \frac{1}{3-2+2} = \frac{1}{3})
• 对 (z=\sqrt{2}i)：(\text{Res} = \frac{1}{3*(\sqrt{2}i)^2 + 2*(\sqrt{2}i) + 2} = \frac{1}{-6 + 2\sqrt{2}i + 2})，有理化后得到 (\frac{-2 - \sqrt{2}i}{12})
• 对 (z=-\sqrt{2}i)：(\text{Res} = \frac{1}{3*(-\sqrt{2}i)^2 + 2*(-\sqrt{2}i) + 2} = \frac{1}{-6 - 2\sqrt{2}i + 2})，有理化后得到 (\frac{-2 + \sqrt{2}i}{12})

最后把三个留数相加：

1/3 + (-2 - √2i)/12 + (-2 + √2i)/12 = 1/3 + (-4)/12 = 1/3 - 1/3 = 0

根据留数定理，积分结果就是 (2\pi i \times 0 = 0)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Paredes