如何求解函数方程？已知$f(x)+2f(5-x)=x$求$f(1)$的方法问询

阿华AIGC实验室

2026-5-19

求解函数方程$f(x)+2f(5-x)=x$并计算$f(1)$

嘿，这个问题其实用变量替换+联立方程组的方法就能解决啦，你之前把$f(x)$设为$y$、$f(5-x)$设为$m$的思路方向是对的，只是缺了关键的一步——构造出第二个方程，这样就能联立求解了！

具体步骤如下：

先写出原方程：
```
f(x) + 2f(5 - x) = x  ——（1）
```
做变量替换：把方程里的所有$x$都换成$5-x$（因为$5-(5-x)=x$，这样能让$f(5-x)$和$f(x)$互换位置），代入后得到第二个方程：
```
f(5 - x) + 2f(x) = 5 - x  ——（2）
```
现在我们有了关于$f(x)$和$f(5-x)$的二元一次方程组，用消元法求解：
- 把方程（2）两边同时乘以2，得到：
```
2f(5 - x) + 4f(x) = 10 - 2x  ——（3）
```
- 用方程（3）减去方程（1），消去$f(5-x)$：
```
[2f(5 - x) + 4f(x)] - [f(x) + 2f(5 - x)] = (10 - 2x) - x
```
  化简后左边剩下$3f(x)$，右边是$10 - 3x$，所以：
```
3f(x) = 10 - 3x
f(x) = \frac{10}{3} - x
```
最后计算$f(1)$，把$x=1$代入$f(x)$的表达式：
```
f(1) = \frac{10}{3} - 1 = \frac{7}{3}
```