咱们用反证法来推导这个结论，思路非常直观：假设$g$不恒为0，然后构造一个符合条件的测试函数$h$，让积分结果不为0，从而导出矛盾。

步骤1：利用连续性找到局部保号区间 #

因为$g$在$[x,y]$上连续，如果$g$不恒为0，那必然存在某个点$t_0 \in (x,y)$（测试函数的支集在开区间内，所以取开区间里的点更方便），使得$g(t_0) \neq 0$。不妨先假设$g(t_0) > 0$（$g(t_0) < 0$的情况完全对称，只需要把后续构造的$h$取负即可）。

根据连续函数的局部保号性，存在一个足够小的$\delta > 0$，让邻域$(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$完全包含在$(x,y)$内，并且对这个邻域里的所有$t$，都有：
$$g(t) \geq \frac{g(t_0)}{2} > 0$$

步骤2：构造紧支集光滑测试函数$h$ #

我们需要一个满足以下条件的$h \in C^\infty_c(x,y)$：

• 在$(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$内，$h(t) > 0$
• 在这个邻域外，$h(t) = 0$
• $h$是无穷次可导的

标准的“ bump function”完美符合要求，比如定义：
$$
h(t) =
\begin{cases}
\exp\left(-\frac{1}{\delta^2 - (t - t_0)^2}\right) & \text{当 } |t - t_0| < \delta \
0 & \text{否则}
\end{cases}
$$
这个函数是光滑的（无穷次可导），而且支集正好是$[t_0 - \delta, t_0 + \delta] \subset (x,y)$，完全满足$C^\infty_c(x,y)$的定义。

步骤3：计算积分并导出矛盾 #

现在计算积分$\int_x^y g(t)h(t)dt$：
因为$h(t)$在$(t_0 - \delta, t_0 + \delta)$外为0，所以积分可以简化为：
$$\int_{t_0 - \delta}^{t_0 + \delta} g(t)h(t)dt$$
在这个区间内，$g(t) \geq \frac{g(t_0)}{2} > 0$，且$h(t) > 0$，所以被积函数$g(t)h(t)$恒正，积分结果必然大于0：
$$\int_{t_0 - \delta}^{t_0 + \delta} g(t)h(t)dt \geq \frac{g(t_0)}{2} \int_{t_0 - \delta}^{t_0 + \delta} h(t)dt > 0$$

但题目中明确说，对所有$h \in C^\infty_c(x,y)$，这个积分都等于0，这就产生了矛盾。因此我们最初假设$g$不恒为0是错误的，只能得出$g \equiv 0$的结论。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者mathlife