首先，咱们先把核心的变换逻辑理清楚：你提到的矢量分量变换公式是F_{a^\prime}=\frac{\partial x^a}{\partial x^{a^\prime}}F_a，这里我们的目标是只提取笛卡尔坐标系下z轴的分量$F_z$，球坐标的矢量分量是$(F_r, F_\theta, F_\phi)$，对应坐标$(r,\theta,\phi)$。

第一步：明确坐标变换的偏导数展开 #

要计算$F_z$，我们需要把变换公式针对z轴展开——也就是让$a'$对应z坐标，此时$F_z$等于球坐标各分量分别乘以对应球坐标参数对z的偏导数之和：

F_z = \frac{\partial r}{\partial z} F_r + \frac{\partial \theta}{\partial z} F_\theta + \frac{\partial \phi}{\partial z} F_\phi

接下来我们逐个计算这些偏导数，用到球坐标和笛卡尔坐标的转换关系：

• 笛卡尔转球坐标：$r=\sqrt{x^2+y2+z^2}$，$\theta=\arccos\left(\frac{z}{r}\right)$，$\phi=\arctan2(y,x)$

第二步：计算各偏导数 #

1. $\frac{\partial r}{\partial z}$：
   对$r=\sqrt{x^2+y2+z^2}$求z的偏导，直接得到：

   \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \cos\theta
   

   既可以用球坐标的$\cos\theta$表示，也可以直接保留笛卡尔坐标的形式。

2. $\frac{\partial \theta}{\partial z}$：
   对$\theta=\arccos\left(\frac{z}{r}\right)$用链式法则求导，代入$\frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r}$化简后：

   \frac{\partial \theta}{\partial z} = -\frac{\sin\theta}{r} = -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2}
   

3. $\frac{\partial \phi}{\partial z}$：
   因为$\phi$的表达式里不直接包含z，所以对z的偏导结果是0——这意味着球坐标的$\phi$分量矢量完全不会贡献到z轴分量里。

第三步：合并得到$F_z$的最终表达式 #

把上面的偏导数代入展开式，就能得到z轴分量的最终形式：

F_z = \cos\theta \cdot F_r - \frac{\sin\theta}{r} \cdot F_\theta

如果要完全转换为笛卡尔坐标的形式（用x,y,z替代球坐标参数），替换对应的关系即可：

F_z = \frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} F_r - \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x^2+y^2+z^2} F_\theta

补充：关于你提到的$\cos\phi$、$\sin\phi$的说明 #

你提到转换过程中用到了$\cos\phi=\frac{x}{\sqrt{x^2+y2}}$、$\sin\phi...$，其实这些是计算笛卡尔x、y分量时才会用到的项，比如$F_x$的推导会涉及$\cos\phi$和$\sin\phi$，但因为$\phi$对z的偏导为0，所以这些项完全不会出现在$F_z$的表达式里，这也是我们可以不用纠结这部分内容就能得到z轴分量的原因。

如果你的原始矢量$F_a$是$\theta$和$\phi$的函数，只需要把上面的表达式替换成x,y,z的形式，就能得到纯笛卡尔坐标系下的$F_z$了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Karl