嘿，这个问题得从两个核心角度拆解，咱们一步步捋清楚～

先澄清关键误解：离散型随机变量的CDF在所有点都存在 #

离散型随机变量的累积分布函数$F(x)=P(X\leq x)$是定义在全体实数上的，不存在“某个点处不存在”的情况。它的形态是典型的阶梯状：

• 在X的取值点（比如0、1这类实际能取到的值），CDF会有跳跃（右连续，左极限≠函数值）；
• 在X的非取值点（比如0.5），CDF是常数，等于左边最近跳跃后的函数值（比如这里就是0.5），是连续的（左极限=右极限=函数值）。

你大概率是把“CDF在该点没有跳跃”误解成了“CDF不存在”，这是最关键的混淆点哦～

再看中位数的定义与V.Vancak回答的实际含义 #

中位数的严格数学定义是：满足$P(X \leq m) \geq 0.5$ 且 $P(X \geq m) \geq 0.5$的所有实数$m$的集合。

举个具体例子：假设X只能取0和1，且$P(X=0)=P(X=1)=0.5$，那：

• 当$m \in (0,1)$时，$P(X\leq m)=P(X=0)=0.5\geq0.5$，同时$P(X\geq m)=P(X=1)=0.5\geq0.5$——从严格定义来说，(0,1)内的所有值都是X的中位数；
• 但V.Vancak说“必须选择0或1作为中位数，(0,1)区间内的任何值都不会产生影响”，这是从实际应用角度出发的：离散型随机变量X根本取不到(0,1)内的值，这些中位数对描述X的集中趋势没有实际意义，所以我们通常会选择X能取到的0或1作为“代表性中位数”，而非那些取不到的中间值。

回到你的核心疑问 #

你提到“累积分布函数在中位数0.5处不存在”，其实是误解了——CDF在0.5处是存在的，值为0.5，只是它在这个点没有跳跃（因为X取不到0.5）。而(0,1)内的数能满足中位数定义，只是因为离散变量的特性，这些值没有实际应用价值，所以V.Vancak才会说选0或1更合适。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者The Pointer