嘿，这题其实不用硬套那些经典不等式，用构造特殊例子的思路就搞定了——毕竟要证明某个量不存在最大值，只要能说明它能无限变大就行，对吧？

核心逻辑很简单：如果能找到一系列满足xyz=1的正实数组，使得min(x+y, x+z, y+z)可以无限增大，那就说明它没有上界，自然不存在最大值。

具体构造步骤：

• 设x = y = t（t是任意正实数），根据xyz=1，可以算出z = 1/(x·y) = 1/t²。
• 计算三个和的值：
  • x+y = 2t
  • x+z = t + 1/t²
  • y+z = t + 1/t²
• 观察最小值：当t > 1时，1/t² < 1 < t，所以t + 1/t² < 2t，此时min(x+y, x+z, y+z) = t + 1/t²。
• 当t趋近于正无穷时，1/t²会趋近于0，所以t + 1/t²会趋近于正无穷——也就是说，只要t足够大，这个最小值就能变得任意大，完全没有上限。

换个构造方式也能验证：比如让z趋近于0，同时让x=y=√(1/z)，这样xy=1/z满足xyz=1。当z无限趋近于0时，x和y会无限增大，此时x+y、x+z、y+z都会无限增大，它们的最小值自然也会无限变大。

至于你说用经典不等式没进展，其实很正常：这类“证明无最大值/最小值”的问题，通常不是用不等式放缩找界（不等式一般用来求存在的最值），而是通过构造极端例子来突破边界——构造法才是这类问题的核心利器。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Boris Bulatovic