问题描述 #

将现有16名高管，其中包含两名兄弟，求他们在圆桌旁就座且两名兄弟不相邻的排列方式总数。

解法分析与验证 #

你给出的解法$13! \cdot \binom{14}{2} \cdot 2$是完全正确的，咱们来一步步拆解每一步的逻辑：

• 第一步：先排非兄弟的14名高管
  圆桌排列和直线排列不同，旋转后相同的排列算同一种，所以n个人的圆桌排列数是$(n-1)!$。这里先排14个无关人员，总数就是$(14-1)! = 13!$。

• 第二步：选空隙放置兄弟
  14个人排好后，圆桌周围会形成14个互不相邻的空隙（每个人左右各一个，因为是环形，空隙数等于人数）。我们需要从这14个空隙里选2个来放这对兄弟，避免他们相邻，选法数量就是组合数$\binom{14}{2}$（也就是你写的$14C2$）。

• 第三步：兄弟的排列顺序
  选好空隙后，两名兄弟可以交换位置，所以要乘以2来考虑两人的排列情况。

把这些步骤乘起来，就得到了最终的排列总数：$13! \times \binom{14}{2} \times 2$。如果化简一下的话，$\binom{14}{2} \times 2 = 14 \times 13$，所以也可以写成$13! \times 14 \times 13 = 13 \times 14!$，两种形式都是对的。

另外，我们也可以用间接法验证这个结果：

1. 16人的圆桌总排列数是$(16-1)! = 15!$
2. 兄弟相邻的情况：把两人看作一个整体，相当于15个“元素”的圆桌排列，即$(15-1)! = 14!$，再乘以两人内部的排列数2，所以相邻的排列数是$2 \times 14!$
3. 不相邻的排列数 = 总排列数 - 相邻排列数 = $15! - 2 \times 14! = 15 \times 14! - 2 \times 14! = 13 \times 14!$，和直接法的结果一致，说明解法正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者aneesh cool