问题1：收敛级数与发散级数相加所得的级数是收敛还是发散？ #

答案是一定发散，咱们用反证法就能把逻辑理得明明白白：
假设存在收敛级数 $\sum a_n$（极限为$S_1$）和发散级数 $\sum b_n$，它们的和 $\sum (a_n + b_n)$ 是收敛的（极限为$S_2$）。根据级数的运算性质，$\sum b_n = \sum[(a_n + b_n) - a_n] = \sum(a_n + b_n) - \sum a_n$，而两个收敛级数的差必然也是收敛的，这就和咱们一开始假设的$\sum b_n$发散矛盾了。所以反过来想，收敛级数加发散级数的结果绝对不可能收敛，只能是发散的。

问题2：收敛序列与发散序列相加所得的序列是否可能收敛？ #

你的直觉完全正确——不可能收敛，同样用反证法就能证明：
设收敛序列${a_n}$的极限为$A$（也就是$\lim_{n \to \infty} a_n = A$），发散序列${b_n}$。假设它们的和${c_n} = {a_n + b_n}$是收敛的，极限为$C$（$\lim_{n \to \infty} c_n = C$）。那我们可以把$b_n$拆成$c_n - a_n$，根据极限的四则运算法则，$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty}(c_n - a_n) = C - A$，这说明${b_n}$是收敛的，和题目里“${b_n}$是发散序列”的前提矛盾。所以这个假设不成立，收敛序列加发散序列的结果一定是发散的，不可能收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ilan Kaboom