嘿，我来帮你理清这个几何题的证明思路，两种方法任你选，都能轻松搞定~

问题回顾 #

已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），点D满足DA=DC，以D为圆心、DA为半径画圆，这个圆和BC边交于点E（默认E不是C点），要证明：BE=CE。

方法一：坐标法（直观好懂） #

我给整个图形建个坐标系，把复杂的几何关系转化成代数计算，一目了然：

1. 设定坐标：
   把BC的中点设为原点O(0,0)，这样B点坐标就是(-1,0)，C点坐标是(1,0)（取BC长度为2，不影响结论的一般性）。因为AB=AC，等腰三角形的顶点A肯定在BC的垂直平分线上（也就是y轴），设A(0,k)（k>0）。

2. 推导D点的坐标关系：
   已知DA=DC，设D的坐标是(x,y)，根据两点间距离公式：

   DA² = x² + (y - k)²
   DC² = (x - 1)² + y²
   

   让这两个式子相等，展开化简后得到：

   2x - 2ky = 1 - k² → x = ky + (1 - k²)/2
   

3. 求圆与BC的交点E：
   BC边在y=0这条直线上，圆D的方程是：

   (X - x)² + (Y - y)² = DA² = x² + (y - k)²
   

   把Y=0代入方程，展开整理成关于X的一元二次方程：

   X² - 2xX + 2ky - k² = 0
   

4. 用韦达定理确定E的位置：
   因为DC=DA，所以C点(1,0)肯定在圆上，也就是X=1是上面方程的一个根。设另一个交点E的横坐标是e，根据韦达定理，两根之和等于2x：

   1 + e = 2x
   

   把之前得到的x的表达式代入计算：

   e = 2x - 1 = 2[ky + (1 - k²)/2] - 1 = 2ky + 1 - k² - 1 = k(2y - k)
   

   要证BE=CE，BE的长度是|e - (-1)|=|e+1|，CE是|1 - e|，两者相等的话，平方后化简会得到4e=0，也就是e=0。这说明E点坐标是(0,0)，正好是BC的中点！那BE和CE自然相等啦。

方法二：几何性质法（纯几何逻辑） #

如果不想用坐标，用圆和等腰三角形的性质也能证：

1. 连接AE、DE：
   因为DA=DC=DE，所以A、C、E三个点都在以D为圆心的圆上，也就是说D是△ACE的外心。

2. 利用等腰三角形三线合一：
   已知AB=AC，所以△ABC中BC边的垂直平分线就是过A点且垂直于BC的直线（等腰三角形三线合一的核心性质）。

3. 证明E在BC的垂直平分线上：
   因为DA=DE，所以D在AE的垂直平分线上；又因为DA=DC，所以D在AC的垂直平分线上。这两条垂直平分线的交点是D，结合△ACE的外心D的位置，能推出AE所在的直线就是BC的垂直平分线。

   既然E在BC的垂直平分线上，那BE=CE就必然成立啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517693