Let's walk through how to solve this inequality step by step, then generalize the approach for similar problems involving absolute values and transcendental functions.

First, a quick recap: $\frac{\sin(x)}{x}$ is the sinc function, denoted $\text{sinc}(x)$. It's undefined at $x=0$, but $\lim_{x \to 0} \text{sinc}(x) = 1$. Since $\left|\text{sinc}(x)\right|$ is an even function (symmetric about the y-axis), we can solve for $x > 0$ first and mirror the results to $x < 0$.

1. 当 $\varepsilon \geq 1$ 时 #

对于所有 $x \neq 0$，我们有 $\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq 1$（这来自不等式 $|\sin(x)| \leq |x|$，仅当 $x \to 0$ 时趋近于等号）。因为 $\varepsilon \geq 1$，所有非零实数都满足该不等式。

解集：$x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

2. 当 $0 < \varepsilon < 1$ 时 #

这是需要重点分析的非平凡情况。我们先聚焦 $x > 0$ 的解，再通过对称性扩展到 $x < 0$。

核心观察 #

• 当 $x > \frac{1}{\varepsilon}$ 时，$\left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \leq \frac{1}{x} < \varepsilon$，因此所有 $x > \frac{1}{\varepsilon}$ 的值自动满足不等式。
• 当 $0 < x \leq \frac{1}{\varepsilon}$ 时，我们需要找到满足 $|\sin(x)| < \varepsilon x$ 的区间。

子情况2.1：$0 < x < \pi$

此区间内 $\sin(x) > 0$，不等式简化为 $\sin(x) < \varepsilon x$。令 $f(x) = \sin(x) - \varepsilon x$：

• $f(0) = 0$，$f'(x) = \cos(x) - \varepsilon$
• $f(x)$ 在 $x = \arccos(\varepsilon)$（即 $\cos(x) = \varepsilon$ 的点）处达到最大值，之后递减。在 $x = \pi$ 处，$f(\pi) = -\varepsilon \pi < 0$。
• 由于 $f(x)$ 从0开始上升到正的最大值，再下降到负数，因此存在唯一解 $a \in (\arccos(\varepsilon), \pi)$ 满足 $\sin(a) = \varepsilon a$。

因此：

• $0 < x < a$ 时：$\frac{\sin(x)}{x} > \varepsilon$（不满足不等式）
• $a < x < \pi$ 时：$\frac{\sin(x)}{x} < \varepsilon$（满足不等式）

子情况2.2：整数 $k \geq 1$，$k\pi < x < (k+1)\pi$

在每个区间内，$\sin(x)$ 的符号交替变化，但我们关注其绝对值。$\left|\frac{\sin(x)}{x}\right|$ 在每个区间内的峰值出现在 $x = \tan(x)$ 的解处（sinc函数的临界点），且这些峰值随 $k$ 增大而递减：

• 当 $k$ 足够大时，$\frac{1}{k\pi} < \varepsilon$，此时整个区间 $(k\pi, (k+1)\pi)$ 都满足不等式。
• 对于峰值大于 $\varepsilon$ 的较小 $k$，我们需要用数值方法（比如牛顿迭代法、二分法）求解 $|\sin(x)| = \varepsilon x$，得到满足不等式的子区间端点 $b_k, c_k$。

扩展到 $x < 0$ 的解集 #

由于 $\left|\text{sinc}(x)\right|$ 是偶函数，$x < 0$ 的解集是 $x > 0$ 解集的对称区间：

• $-\pi < x < -a$
• 对应每个相关 $k$，$-c_k < x < -b_k$
• $x < -\frac{1}{\varepsilon}$

此类不等式的通用求解方法 #

当求解形如 $|f(x)| < \varepsilon$（其中 $f(x)$ 是三角函数、指数函数等超越函数）的不等式时，可遵循以下步骤：

1. 分析函数基本性质

   • 检查奇偶性（偶/奇），将问题简化到x轴的一侧求解，再对称扩展。
   • 明确定义域（排除无定义点）和渐近行为（$x \to \pm\infty$ 时的极限），快速确定平凡解区域。
   • 找到函数的边界（比如 $|\sin(x)| \leq 1$），简化部分解集的判断。

2. 去掉绝对值符号
   将不等式改写为 $-\varepsilon < f(x) < \varepsilon$，根据 $f(x)$ 在不同区间的符号拆分情况讨论。

3. 求解临界点
   解集的边界对应方程 $f(x) = \varepsilon$ 和 $f(x) = -\varepsilon$ 的解。对于超越方程，通常需要用数值方法求解，因为不存在解析解。

4. 测试区间
   在每个临界点划分的区间内，选取测试值代入 $f(x)$，判断是否满足不等式，从而确定该区间是否属于解集。

5. 合并结果
   合并所有有效区间，并利用对称性（若适用）将解集扩展到整个定义域。

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