我来给你梳理一下三维非定常流体中粘性生热率的标准推导逻辑——这本质是粘性应力对流体微团做功转化为热量的过程，核心是结合流体的动量传递（粘性应力）和热力学能量守恒来推导：

核心物理本质 #

粘性生热的源头是：流体微团在粘性应力作用下发生变形时，粘性力做的机械功转化为热能。单位时间单位体积内的生热率$\dot{q}$，就等于粘性应力张量与速度梯度张量的双点积。

推导步骤（以牛顿流体为例） #

1. 定义关键张量 #

首先明确两个核心张量：

• 速度梯度张量：$\frac{\partial u_i}{\partial x_j}$（采用爱因斯坦求和约定，$i,j=1,2,3$对应三维坐标分量），它可以分解为对称的变形速率张量$\mathbf{e}$和反对称的旋度张量$\boldsymbol{\omega}$：
  $$\frac{\partial u_i}{\partial x_j} = e_{ij} + \omega_{ij}$$
  其中变形速率张量$e_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$（描述流体微团的拉伸/剪切变形），旋度张量$\omega_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} - \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$（描述微团的转动）。
• 牛顿流体粘性应力张量：满足线性本构关系，表达式为：
  $$\tau_{ij} = 2\mu e_{ij} - \frac{2}{3}\mu\delta_{ij}e_{kk}$$
  这里$\mu$是动力粘度，$\delta_{ij}$是克罗内克函数（$i=j$时为1，否则为0），$e_{kk} = \nabla\cdot\vec{\nu}$是速度散度（微团的体积变形速率）。

2. 计算粘性功（生热率） #

粘性应力对微团做的功率密度（即生热率$\dot{q}$）等于应力张量与速度梯度张量的双点积：
$$\dot{q} = \tau_{ij} \frac{\partial u_i}{\partial x_j}$$
由于$\tau_{ij}$是对称张量，$\omega_{ij}$是反对称张量，它们的双点积为0，因此可以简化为仅与变形速率张量的双点积：
$$\dot{q} = \tau_{ij} e_{ij}$$

3. 代入张量表达式化简 #

将牛顿流体的粘性应力张量代入上式，展开计算：
$$
\begin{align*}
\dot{q} &= \left( 2\mu e_{ij} - \frac{2}{3}\mu\delta_{ij}e_{kk} \right) e_{ij} \
&= 2\mu e_{ij}e_{ij} - \frac{2}{3}\mu e_{kk} \cdot e_{ij}\delta_{ij} \
&= 2\mu e_{ij}e_{ij} - \frac{2}{3}\mu (e_{kk})^2
\end{align*}
$$
展开分量形式（更直观）：
$$
\dot{q} = 2\mu\left( e_{11}^2 + e_{22}^2 + e_{33}^2 + 2e_{12}^2 + 2e_{13}^2 + 2e_{23}^2 \right) - \frac{2}{3}\mu\left( \nabla\cdot\vec{\nu} \right)^2
$$
其中$e_{11}=\frac{\partial u}{\partial x}, e_{12}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} \right)$等，对应各方向的变形速率分量。

非牛顿流体的扩展思路 #

如果是非牛顿流体，核心逻辑不变：

1. 根据流体的本构关系确定粘性应力张量$\tau_{ij}$（比如幂律流体、宾汉流体等，应力与变形速率呈非线性关系）；
2. 同样计算$\tau_{ij}$与速度梯度张量的双点积，得到生热率$\dot{q}$。

关键结论 #

• 粘性生热仅与流体的变形运动（拉伸+剪切）有关，与微团的转动（旋度）无关——因为转动过程中粘性应力不做功；
• 对于不可压缩流体，速度散度$\nabla\cdot\vec{\nu}=0$，生热率可简化为$\dot{q}=2\mu e_{ij}e_{ij}$，仅由剪切和拉伸变形决定。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Foad