这个问题刚好戳中了Lebesgue积分和累次积分关系的核心——Fubini定理的前提条件，咱们一步步拆解来理解：

先明确函数定义 #

首先再把这个分段函数写清楚：
$$f\colon \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R},\ f(x,y)= \begin{cases} \frac{\mathrm{sign}(xy)}{x^2+y2}, \ (x,y)\ne (0,0)\ 0, \ (x,y)=(0,0) \end{cases}$$
其中$\text{sign}(xy)$是符号函数：当$xy>0$时为1，$xy<0$时为-1，$xy=0$时为0。

为什么两个累次积分都是0？ #

咱们先看先对x积分、再对y积分的情况：

• 固定任意$y≠0$，内层积分$\int_{\mathbb{R}} f(x,y) dx$里，$\text{sign}(xy)$是关于x的奇函数（x取相反数时，xy变号，符号函数也变号），而分母$x^2+y2$是偶函数，所以整个被积函数是奇函数。
• 积分区间$\mathbb{R}$是对称的，奇函数在对称区间上的积分就是0，所以$\int_{\mathbb{R}} f(x,y) dx = 0$。
• 再对y积分，0的积分自然还是0，所以$\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} f(x,y) dxdy = 0$。

同理，先对y积分再对x积分时，固定$x≠0$，被积函数关于y是奇函数，积分结果也是0，所以两个累次积分相等且都是0。

为什么函数不是Lebesgue可积的？ #

Lebesgue可积的核心要求是绝对可积，也就是函数绝对值的二重积分必须有限：$\int_{\mathbb{R}^2} |f| d(x,y) < \infty$。咱们来算这个绝对值积分：

• $|f(x,y)| = \frac{1}{x^2+y2}$（因为符号函数的绝对值是1），转换成极坐标计算更直观：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则面积元$d(x,y)=rdrd\theta$，积分变为：
  $$\int_0^{2\pi} \int_0^\infty \frac{1}{r^2} \cdot r drd\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty \frac{1}{r} drd\theta$$
• 内层积分$\int_0^\infty \frac{1}{r} dr$是发散的：当$r→0^+$时，$\ln r→-\infty$；当$r→\infty$时，$\ln r→+\infty$，所以这个积分没有有限值。
• 因此整个绝对积分$\int_{\mathbb{R}^2} |f| d(x,y) = \infty$，满足你提到的$\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|f_y(x)|dxdy=\infty$，所以f不满足Lebesgue可积的条件。

关键疑问：为什么会出现这种情况？ #

说白了，这是因为Fubini定理的逆命题不成立：

• Fubini定理的核心结论是：如果函数在$\mathbb{R}^2$上Lebesgue可积，那么两个累次积分都存在且相等，并且等于二重积分。但反过来，累次积分存在且相等，不能推出函数可积——因为Fubini定理的前提是函数绝对可积，而这个函数的绝对值积分发散，不满足这个前提。
• 更直观的解释：这个函数在原点附近的“正负抵消”效应极强——第一、三象限f为正，第二、四象限f为负，当我们做累次积分时，每条固定y（或x）的直线上，正负部分刚好对称抵消，得到0；但从整个平面的角度看，绝对值的积分（也就是把所有区域的“函数值大小”加起来）是发散的，因为原点附近函数值趋向无穷的速度太快，积分收不住。这种“局部抵消但整体绝对积分发散”的情况，就是导致累次积分和二重积分行为不一致的根本原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EpsilonDelta