1. 空间投影张量的迹是什么？ #

对于3维欧几里得空间中，投影到垂直于单位矢量$\vec{n}$的子空间的投影算符$P^j_m \equiv \delta^j_m - n^j n_m$，它的迹（对重复指标$j=m$求和的结果）可以通过爱因斯坦求和约定直接计算：

• 克罗内克符号$\delta^{j_j$在3维空间的迹为$\delta}1_1 + \delta^2_2 + \delta^3_3 = 3$
• 单位矢量满足自内积$n^j n_j = \vec{n} \cdot \vec{n} = 1$

因此，投影张量的迹为：
$$P^j_j = \delta^j_j - n^j n_j = 3 - 1 = 2$$

这个结果符合物理直觉：我们将3维空间投影到垂直于$\vec{n}$的2维子空间，投影算符的迹等于目标子空间的维度，所以迹为2是合理的。

2. Moore学生手册中的推导是否正确？ #

你的计算完全正确，Moore学生手册里的推导存在明显错误。

你已经准确抓住了核心：单位矢量的自内积必然满足$n^j n_j = 1$，按照投影算符的定义$P^j_j = \delta^j_j - n^j n_j$，正确结果应该是$3-1=2$，而非手册中写的$3-2=1$。

最可能的原因是手册出现了笔误——错误地将$n^j n_j$的取值写成了2，忽略了单位矢量模平方为1的基本性质。你的推导逻辑严谨，没有任何理解错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者P. Gallez