先明确咱们已经握在手里的前提：

• $G$是245阶群，也就是$|G|=5\times7^2$
• $G$的49阶子群$H$是唯一的（这部分已经证完了）
• 有限群里子群的阶肯定整除群的阶（拉格朗日定理，这个是已知的）

接下来要补全证明，得一步步来：

第一步：先证明$H$是$G$的正规子群 #

咱们算一下$H$在$G$里的指数：$[G:H] = |G|/|H| = 245/49 = 5$，5正好是245的最小素因子。群论里有个常用结论：如果有限群$G$的某个子群的指数是$|G|$的最小素因子，那这个子群一定是正规子群。所以直接就能得出$H \triangleleft G$，这是后面推导的核心基础。

第二步：假设存在不在$H$里的7阶元素，导出矛盾 #

咱们反证一下，假设存在一个7阶元素$g \in G$，但$g \notin H$。先看由$g$生成的循环子群$\langle g \rangle$，根据拉格朗日定理，这个子群的阶肯定是7，因为$g$的阶是7。

因为$H$是正规子群，所以$H$和$\langle g \rangle$的乘积集合$H\langle g \rangle$是$G$的一个子群。子群的阶有个计算公式：
$$|H\langle g \rangle| = \frac{|H| \times |\langle g \rangle|}{|H \cap \langle g \rangle|}$$

现在分析交集$H \cap \langle g \rangle$的阶：

• 它既是$H$的子群，也是$\langle g \rangle$的子群，根据拉格朗日定理，它的阶只能是1或者7。
• 如果阶是7的话，那$\langle g \rangle$就完全包含在$H$里了，这和咱们假设的$g \notin H$矛盾。所以交集的阶只能是1。

把数值代入公式算一下：
$$|H\langle g \rangle| = \frac{49 \times 7}{1} = 343$$
可343根本不整除245啊！这就违反了拉格朗日定理，毕竟子群的阶必须整除群的阶。

第三步：得出结论 #

既然假设导致了矛盾，那说明咱们的假设错了——不存在不在$H$里的7阶元素。所以$G$里所有的7阶元素都必须属于$H$。

另外还有个更直接的思路可以补充：
因为$|G|=5\times7^2$，$H$是唯一的西罗7-子群（毕竟49是7的平方，正好是西罗7-子群的阶）。而任何7阶元素生成的子群都是7阶的，属于某个西罗7-子群；又因为西罗7-子群只有$H$一个，所以所有7阶子群都包含在$H$里，自然所有7阶元素都属于$H$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jusko