嘿，这个问题可是数值迭代里的经典坑——不少初学者都会只盯着|f(x)|来设收敛准则，但实际上得结合方法本身的特性和你要达到的精度需求来综合考量。我来给你拆解下三种方法各自该怎么选收敛准则：

二分法：优先看区间长度，辅助看函数值 #

二分法是唯一能保证收敛的迭代方法（只要初始区间满足f(a)f(b)<0），它的收敛逻辑很直白：每次迭代把区间砍半，真实根一定在剩下的区间里。所以最靠谱的收敛准则是区间长度小于你要求的根的精度：比如你需要根的绝对误差不超过1e-6，那当区间长度b-a < 1e-6时就可以停了——因为此时区间里随便选个点（比如中点）和真实根的差距绝不会超过区间长度的一半，完全能满足精度要求。

当然你也可以加个|f(x)| < δ的辅助判断，但别把它当核心——毕竟有些函数在根附近特别平坦，|f(x)|很小的时候，x可能离真实根还有不小距离。

牛顿-拉夫逊法：双维度判断，兼顾x的变化和函数值 #

牛顿法是二阶收敛的，速度快得飞起，但前提是初始点选得合理、根附近导数不为零。这里的收敛准则最好同时看两个维度：

• 迭代值的变化量：也就是|x_{n+1} - x_n| < ε，因为牛顿法收敛时，相邻两次迭代的x值差距会极速缩小，这个指标能直接反映x逼近真实根的程度；
• 函数值的大小：|f(x_n)| < δ，这里的δ得和你的精度需求匹配——比如如果要求根的绝对误差是1e-6，那δ可以设成1e-12左右（因为在根附近，|f(x)| ≈ |f’(x*)| * |x - x*|，函数值误差和x的误差是线性相关的）。

另外别忘了加个迭代次数上限，万一初始点选砸了，牛顿法可是会发散的，别让程序死循环。

不动点迭代法：核心看x的迭代变化量 #

不动点迭代是x_{n+1} = g(x_n)，它的收敛条件是根附近|g’(x)| < 1。这里的收敛准则主要看相邻迭代值的差：|x_{n+1} - x_n| < ε，因为它是一阶收敛的，这个差值直接对应着误差的量级。同样可以加|f(x_n)| < δ当辅助，但别本末倒置——毕竟如果g(x)选得不好，可能|f(x)|很小但x离真实根还远，或者反过来。

回到你的问题 #

你用|f(x)| ≤ 0.5×10^{-5}得到了x=0.652910，但参考答案的准则更小，大概率是因为参考答案要求的是根的绝对误差更高，而不是只满足函数值的误差。比如假设真实根是0.652912，你的结果和真实根差了2e-6，虽然|f(x)|达标了，但如果题目要求根的精度到1e-6，那你的结果就不够。所以下次设准则的时候，别只盯着函数值，先明确题目要的是根的精度还是函数值的精度，再结合方法特性来选。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Numerical Newbie