我给你两种直观的证明方法，你可以按需理解：

方法一：直接展开组合数分析因子 #

首先，我们先把组合数的表达式写清楚：
$$\binom{2p-q-1}{p-q} = \frac{(2p-q-1)!}{(p-q)! \cdot [(2p-q-1)-(p-q)]!} = \frac{(2p-q-1)!}{(p-q)! \cdot (p-1)!}$$

把分子的阶乘拆解开：$(2p-q-1)! = (p-1)! \times p \times (p+1) \times (p+2) \times \dots \times (2p-q-1)$，代入后可以约掉$(p-1)!$，得到：
$$\binom{2p-q-1}{p-q} = p \times \frac{(p+1)(p+2)\dots(2p-q-1)}{(p-q)!}$$

现在看后面的分数部分：分子是连续$(p-q)$个整数的乘积，分母是$(p-q)!$，而组合数本身必然是整数，所以这个分数一定是整数。也就是说，整个组合数是素数$p$乘以一个整数，自然能被$p$整除，即$\binom{2p-q-1}{p-q} \equiv 0 \pmod{p}$。

方法二：用Lucas定理快速验证 #

Lucas定理是处理素数模组合数的常用工具，它的核心结论是：对于素数$p$，若将$n$和$k$表示为$p$进制数$n = n_0 + n_1p + \dots$，$k = k_0 + k_1p + \dots$，则：
$$\binom{n}{k} \equiv \prod_{i} \binom{n_i}{k_i} \pmod{p}$$
其中当$n_i < k_i$时，$\binom{n_i}{k_i} = 0$。

我们把这里的$n=2p-q-1$和$k=p-q$写成$p$进制：

• $2p-q-1 = 1 \times p + (p-q-1)$，即$n_1=1$，$n_0=p-q-1$
• $p-q = 0 \times p + (p-q)$，即$k_1=0$，$k_0=p-q$

代入Lucas定理的公式：
$$\binom{2p-q-1}{p-q} \equiv \binom{1}{0} \times \binom{p-q-1}{p-q} \pmod{p}$$

注意到$\binom{p-q-1}{p-q}=0$（因为上标小于下标，组合数定义为0），所以整个乘积就是$1 \times 0 = 0$，直接得到$\binom{2p-q-1}{p-q} \equiv 0 \pmod{p}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者RFZ