咱们先直接把结论亮出来：仿紧无边流形能赋予黎曼度量的结论，完全适用于带边光滑流形——只要是仿紧的光滑带边流形，百分百能构造出黎曼度量。

为啥带边不影响？核心看仿紧性和单位分解 #

黎曼度量说白了就是流形上每一点都正定的光滑对称(0,2)张量场，构造它的套路其实和无边流形没啥区别：

• 先给带边流形找一组局部坐标覆盖，在每个邻域里，直接用对应半欧氏空间（比如$\mathbb{H}^n = \{ (x_1,...,x_n) \in \mathbb{R}^n | x_n \geq 0 \}$）的标准内积当局部度量——边界附近的点本身就在半欧氏空间里，这个局部度量在边界上照样正定，一点毛病没有；
• 然后靠仿紧流形自带的单位分解工具，把这些局部度量“粘”成整个流形上的全局光滑正定张量场。

这里边界根本没带来本质障碍，无非是局部坐标邻域换成了半欧氏空间的开集而已，拼接逻辑和无边流形一模一样。

带边流形要满足啥条件才能有黎曼度量？ #

和无边流形的要求完全一致：只要是光滑带边流形，同时是仿紧的，就能赋予黎曼度量。

反过来讲，如果一个光滑带边流形不是仿紧的（比如把不可数多个不相交的闭半圆盘堆在一起），那它没法做单位分解，自然拼不出全局的黎曼度量。

紧带边流形行不行？当然没问题！ #

所有紧拓扑空间都是仿紧的，紧带边光滑流形自然满足仿紧性，所以肯定能赋予黎曼度量。而且构造起来还更简单——紧流形的覆盖是有限的，单位分解只需要有限个函数，拼接起来直观得很。

比如闭圆盘这个典型的紧带边流形，直接继承$\mathbb{R}^2$的标准欧氏度量就行，边界上的点和内部点的度量完全统一，根本不需要额外调整。

顺带提一句：你说之前的问题是讨论度量从边界延拓，那是另一个场景——已经有边界上的度量，要扩展到内部；而咱们现在是从无到有造全局度量，虽然场景不同，但核心的仿紧性和单位分解工具是相通的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Irina