嘿，别纠结那个带$\frac{1}{r}$的项啦，这个方程其实可以通过一个巧妙的变形轻松拆解，我一步步给你讲清楚：

首先先简化原方程，原方程是：
$$0=4\beta\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\dfrac{4\beta}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}$$
因为$\beta$是常数，只要$\beta \neq 0$，我们可以两边同时除以$4\beta$，得到更简洁的形式：
$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial u}{\partial r}=0$$
另外注意到这个方程里只涉及变量$r$，所以$u$其实只是$r$的函数，我们可以把偏导数换成常导数，写成：
$$\dfrac{d^2 u}{dr^2}+\dfrac{1}{r}\dfrac{du}{dr}=0$$

关键技巧：合并导数项 #

处理$\frac{1}{r}\frac{du}{dr}$的核心是利用乘积的导数法则，你可以回忆一下：
$$\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{du}{dr}\right) = r\dfrac{d^2 u}{dr^2} + \dfrac{du}{dr}$$
把这个式子两边除以$r$，就刚好和我们方程左边的形式完全一致：
$$\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{du}{dr}\right) = \dfrac{d^2 u}{dr^2} + \dfrac{1}{r}\dfrac{du}{dr}$$
所以原方程可以转化为：
$$\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{du}{dr}\right)=0$$

逐步求解方程 #

1. 两边同时乘以$r$消去分母，得到：
   $$\dfrac{d}{dr}\left(r\dfrac{du}{dr}\right)=0$$
2. 对$r$积分一次，导数为0的函数是常数，所以：
   $$r\dfrac{du}{dr}=C_1$$
   这里$C_1$是任意积分常数
3. 两边除以$r$，得到一阶微分方程：
   $$\dfrac{du}{dr}=\dfrac{C_1}{r}$$
4. 再对$r$积分一次，就得到最终的通解：
   $$u(r)=C_1 \ln r + C_2$$
   这里$C_2$是另一个任意积分常数

特殊情况补充 #

如果$\beta=0$的话，原方程会变成$0=0$，这时候$u$可以是任意关于$r$（以及可能存在的其他变量）的函数，但通常$\beta$是一个非零常数，所以上面的对数形式解就是我们需要的结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者nick_name