当然可以！这两个不等式其实就是施瓦茨引理的推广——施瓦茨-Pick引理，完全可以通过构造合适的辅助函数结合经典施瓦茨引理来证明，下面一步步给你推导：

一、先回顾经典施瓦茨引理 #

设$g:D\to D$是解析函数，且满足$g(0)=0$，则对所有$z\in D$有：

1. $|g(z)|\leq|z|$
2. $|g'(0)|\leq1$
   当且仅当$g(z)=e^{i\theta}z$（$\theta$为实数）时，两个不等式取等号。

二、证明第一个不等式：$\left|\dfrac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|\leqslant \left|\dfrac{z-w}{1-\bar{z}w}\right|$ #

我们需要借助单位圆盘的Möbius变换来构造满足施瓦茨引理条件的辅助函数。

对于任意固定的$a\in D$，定义Möbius变换：
$$M_a(\zeta)=\dfrac{\zeta - a}{1-\overline{a}\zeta}$$
这个函数有两个关键性质：

• $M_a:D\to D$是解析同构（保单位圆盘的双射解析函数）
• $M_a(a)=0$，且其逆变换为$M_{-a}(\omega)=\dfrac{\omega + a}{1+\overline{a}\omega}$

现在固定$w\in D$，构造辅助函数：
$$g(\zeta)=M_{f(w)}\left(f\left(M_w^{-1}(\zeta)\right)\right)=\dfrac{f\left(\dfrac{\zeta + w}{1+\overline{w}\zeta}\right)-f(w)}{1-\overline{f(w)}f\left(\dfrac{\zeta + w}{1+\overline{w}\zeta}\right)}$$

验证$g$满足施瓦茨引理的条件：

1. $M_w^{-1}$、$f$、$M_{f(w)}$都是从$D$到$D$的解析函数，因此$g:D\to D$解析；
2. 当$\zeta=0$时，$M_w^{-1}(0)=w$，代入得$g(0)=\dfrac{f(w)-f(w)}{1-\overline{f(w)}f(w)}=0$。

根据经典施瓦茨引理，对所有$\zeta\in D$有$|g(\zeta)|\leq|\zeta|$。现在令$\zeta=M_w(z)=\dfrac{z-w}{1-\overline{w}z}$（显然$\zeta\in D$，因为$z\in D$），代入$g(\zeta)$：
$$\left|g\left(\dfrac{z-w}{1-\overline{w}z}\right)\right|\leq\left|\dfrac{z-w}{1-\overline{w}z}\right|$$

左边化简后就是$\left|\dfrac{f(z)-f(w)}{1-\overline{f(z)}f(w)}\right|$，因此第一个不等式得证。

三、证明第二个不等式：$\dfrac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leqslant \dfrac{1}{1-|z|^2}$ #

这里有两种常用方法，都基于施瓦茨引理：

方法一：对第一个不等式取极限 #

固定$z\in D$，令$w=z+h$（$h\to0$），对第一个不等式两边做近似：

• 左边分子：$|f(z+h)-f(z)|=|f'(z)h+o(h)|$，分母：$|1-\overline{f(z)}f(z+h)|=1-|f(z)|^{2+o(1)$（因为$|f(z)|<1$，高阶小量可忽略），因此左边近似为$\dfrac{|f'(z)||h|}{1-|f(z)|}2}$
• 右边分子：$|(z+h)-z|=|h|$，分母：$|1-\overline{z}(z+h)|=1-|z|^{2+o(1)$，因此右边近似为$\dfrac{|h|}{1-|z|}2}$

将两边除以$|h|$并令$h\to0$，直接得到：
$$\dfrac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leqslant \dfrac{1}{1-|z|^2}$$

方法二：用辅助函数结合施瓦茨引理的导数结论 #

固定$z\in D$，构造辅助函数：
$$g(\zeta)=M_{f(z)}\left(f\left(M_z(\zeta)\right)\right)=\dfrac{f\left(\dfrac{\zeta+z}{1+\overline{z}\zeta}\right)-f(z)}{1-\overline{f(z)}f\left(\dfrac{\zeta+z}{1+\overline{z}\zeta}\right)}$$

同样，$g:D\to D$解析且$g(0)=0$，满足施瓦茨引理条件，因此$|g'(0)|\leq1$。

现在用链式法则计算$g'(0)$：

1. 令$\phi(\zeta)=M_z(\zeta)=\dfrac{\zeta+z}{1+\overline{z}\zeta}$，则$\phi'(0)=\dfrac{1-|z|^{2}{(1+\overline{z}\cdot0)}2}=1-|z|^2$
2. $M_{f(z)}(w)=\dfrac{w-f(z)}{1-\overline{f(z)}w}$，其导数$M_{f(z)}'(w)=\dfrac{1-|f(z)|^{2}{(1-\overline{f(z)}w)}2}$，因此$M_{f(z)}'(f(z))=\dfrac{1}{1-|f(z)|^2}$

根据链式法则：
$$g'(0)=M_{f(z)}'(f(z))\cdot f'(z)\cdot \phi'(0)=\dfrac{f'(z)(1-|z|^2)}{1-|f(z)|2}$$

由施瓦茨引理$|g'(0)|\leq1$，整理得：
$$\left|\dfrac{f'(z)(1-|z|^2)}{1-|f(z)|2}\right|\leq1 \implies \dfrac{|f'(z)|}{1-|f(z)|^2}\leqslant \dfrac{1}{1-|z|^2}$$

总结 #

这两个不等式就是施瓦茨-Pick引理，它是经典施瓦茨引理的推广，核心思路是利用Möbius变换将单位圆盘上的任意点映射到原点，从而满足施瓦茨引理的条件，再通过复合函数的性质推导得到结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Fair