嘿，这个问题很容易踩坑——不少人第一反应会直接套变上限积分的求导公式，得出$x^2+f(x)$的错误结果，咱们一步步拆解来搞清楚：

步骤1：拆分积分，分离与积分变量无关的项 #

原积分里的$x^2$和积分变量$t$没关系，但它是关于$x$的函数（而且积分上限也是$x$），所以不能直接当常数处理，先把积分拆成两部分：
$$
\int_{1}^x (x^2+f(t)) ,dt = \int_{1}^x x^2 ,dt + \int_{1}^x f(t) ,dt
$$

步骤2：计算第一部分的积分 #

对于$\int_{1}^x x^2 ,dt$，$x^2$相对于$t$来说是常数，可以提到积分外面：
$$
\int_{1}^x x^2 ,dt = x^2 \cdot \int_{1}^x 1 ,dt = x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2
$$

步骤3：对拆分后的表达式求导 #

现在原积分可以写成：
$$
x^3 - x^2 + \int_{1}^x f(t) ,dt
$$
接下来分别对每一项求导：

• 对$x^3 - x^{2$求导，结果是$3x}2 - 2x$
• 对变上限积分$\int_{1}^x f(t) ,dt$求导，根据变上限积分的基本求导法则，结果是$f(x)$

把两部分加起来，最终的导数就是：
$$
3x^2 - 2x + f(x)
$$

为什么不能直接得出$x^2+f(x)$？ #

变上限积分的核心求导公式$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}g(t)dt = g(x)$有个关键前提：被积函数$g(t)$只和积分变量$t$相关。而这里的被积函数里包含了$x^2$（和$x$相关的项），完全不符合公式的适用条件，必须先把和$x$相关的项从积分里分离处理后，才能正确求导。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mansi