Hey，我来帮你搞定这个问题！这类直线和抛物线相交求斜率范围的题，其实套路很固定，咱们一步步拆解就清楚了：

直线和抛物线的交点坐标，必然同时满足两个方程，所以咱们先把两个方程联立，转化为关于x的一元二次方程，再利用判别式Δ来判断根的个数——两个不同交点对应方程有两个不同的实根，也就是Δ>0。

步骤1：联立直线与抛物线方程 #

已知直线 y = mx + 4，抛物线 y = 3x² -4x +7，交点处的y值是相等的，所以直接把两个式子的y替换掉：

mx + 4 = 3x² - 4x + 7

步骤2：整理成标准一元二次方程形式 #

把所有项移到等式一侧，合并同类项（注意移项时的符号变化）：

3x² - (4 + m)x + 3 = 0

步骤3：利用判别式Δ确定根的个数 #

对于标准一元二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式公式是 Δ = b² - 4ac：

• Δ>0：方程有两个不同的实根，对应直线和抛物线有两个不同交点；
• Δ=0：方程有一个实根（直线与抛物线相切）；
• Δ<0：方程无实根（直线与抛物线无交点）。

咱们需要两个不同交点，所以要求Δ>0。先确定当前方程的系数：

• a = 3，b = -(4 + m)，c = 3

代入判别式公式并列出不等式：

Δ = [-(4 + m)]² - 4 * 3 * 3 > 0

化简后得到：

(4 + m)² - 36 > 0
(4 + m)² > 36

步骤4：解不等式得到m的取值范围 #

对 (4 + m)² > 36 开绝对值，等价于两种情况：

• 4 + m > 6 → 解得 m > 2
• 或者 4 + m < -6 → 解得 m < -10

所以m的取值集合就是：{ m | m < -10 或 m > 2 }

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Logan Dawid