咱来梳理实射影空间$P^n(\mathbb{R})$的两种等价表述，这俩本质是一回事，只是从不同角度切入：

定义1：基于过原点直线的集合定义 #

• 基础集合：$\mathbb{R}^{{n+1}$（n+1维实欧几里得空间）中**所有过原点的直线**构成的集合，这个集合就记作$P}n(\mathbb{R})$。

定义2：基于等价关系的等价类定义 #

• 第一步：在$\mathbb{R}^{n+1} \setminus {0}$（也就是去掉原点的n+1维实空间）上定义等价关系$R$：

  $x\ R\ y \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0$，使得$\lambda x = y$
  简单说就是：两个非零向量等价当且仅当其中一个是另一个的非零实数倍。

• 第二步：包含任意非零向量$x \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus {0}$的等价类记作$[x]$，这个等价类可以直接和$\mathbb{R}^{n+1}$中过原点的直线划等号——每条过原点的直线上的所有非零向量恰好构成一个等价类，反过来每个等价类也对应唯一一条过原点的直线，这也直接说明了两种定义的等价性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者BAYMAX