嘿，我来帮你推导这个问题的精确解析解——毕竟渐近结果虽然好用，但有时候我们就是需要准确的数值对吧？

核心思路很简单：先算没有溢出的概率（所有urn里的球数都≤c-1），再用1减去这个值就是溢出概率了。下面分两种最常见的场景（球可区分/不可区分）来细说：

场景1：球是可区分的（每个球独立选urn，均匀随机） #

这种情况下，总共有 ( n^m ) 种可能的分配方式。我们可以用生成函数或者容斥原理来算无溢出的分配数：

生成函数法（更简洁） #

每个urn最多放c-1个球，对应的指数生成函数（EGF）是：
[
f(x) = \sum_{t=0}^{c-1} \frac{x^t}{t!}
]
n个urn的联合EGF就是 ( f(x)^n )，无溢出的分配数等于 ( m! ) 乘以这个多项式里 ( x^m ) 的系数，也就是：
[
N_{\text{no overflow}} = m! \cdot [x^m] \left( \sum_{t=0}^{c-1} \frac{x^t}{t!} \right)^n
]
这里的 ( [x^m] ) 就是取 ( x^m ) 项的系数的意思。

那无溢出概率就是这个数除以总分配数 ( n^m )，溢出概率直接用1减就行：
[
P_{\text{overflow}} = 1 - \frac{m!}{n^m} \cdot [x^m] \left( \sum_{t=0}^{c-1} \frac{x^t}{t!} \right)^n
]

容斥原理法（更直观） #

用容斥来排除“至少k个urn溢出”的情况：
[
N_{\text{no overflow}} = \sum_{k=0}^{\lfloor m/c \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \sum_{s=kc}^m \binom{m}{s} \frac{s!}{(c!)^k (s - kc)!} (n - k)^{m - s}
]
简单解释一下：k代表我们指定k个urn必须溢出（每个至少c个球），先从n个urn里选k个，然后计算把s个球（s≥kc）分到这k个urn里（每个至少c个），剩下的m-s个球随便分到剩下的n-k个urn里的方式数，再用容斥的正负号调整。

同样，无溢出概率是这个数除以 ( n^m )，溢出概率=1-无溢出概率。

场景2：球是不可区分的（用隔板法计数） #

这种情况总分配数是经典的隔板法结果：
[
N_{\text{total}} = \binom{m + n - 1}{n - 1}
]
无溢出的分配数就是满足 ( \sum_{i=1}^n k_i = m ) 且每个 ( k_i ≤ c-1 ) 的非负整数解的数目，用容斥算的话是：
[
N_{\text{no overflow}} = \sum_{k=0}^{\lfloor m/c \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{m - kc + n - 1}{n - 1}
]
如果m - kc < 0，那对应的项直接取0就行。

无溢出概率就是这个数除以总分配数，溢出概率还是1减它：
[
P_{\text{overflow}} = 1 - \frac{\sum_{k=0}^{\lfloor m/c \rfloor} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{m - kc + n - 1}{n - 1}}{\binom{m + n - 1}{n - 1}}
]

几个特殊情况验证一下 #

• 当 ( m < c )：每个urn最多放m个球，肯定不会溢出，概率为0，公式完全符合。
• 当 ( m ≥ nc )：所有urn都放满c个球还剩球，必然有urn溢出，概率为1，也对。
• 举个小例子：n=2，c=2，m=3（可区分球）：无溢出的分配数是0，所以溢出概率=1，和实际情况一致（3个球放2个urn，至少有一个urn≥2个球）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者seba