嘿，咱们来仔细捋一捋这个复分析问题，分两部分解答：

首先得明确：$z^2$的平方根是多值函数，它包含两个单值分支：$w = z$ 和 $w = -z$。

• 多值函数本身没有“解析”的概念——解析性是针对单值函数定义的，要求函数在区域内处处可导（复变函数中可导就隐含解析，导数自动连续）。
• 而它的两个单值分支都是整函数（整个复平面上解析）：$w=z$的导数是1，$w=-z$的导数是-1，处处存在且连续，完全满足解析的定义。

答案是否，原因如下：

首先明确主分支的定义：我们通常取平方根的主分支为辐角在$(-\pi, \pi]$内的分支。对于$\sqrt{z^2}$，设$z = re^{i\theta}$（$\theta \in (-\pi, \pi]$），则$z^2 = r^2 e^{{i2\theta}$，主分支会把$z}2$的辐角调整到$(-\pi, \pi]$范围内：

• 当$\theta \in (-\pi/2, \pi/2]$时，$2\theta \in (-\pi, \pi]$，所以$\sqrt{z^2} = re^{i\theta} = z$；
• 当$\theta \in (\pi/2, \pi] \cup (-\pi, -\pi/2)$时，$2\theta$超出$(-\pi, \pi]$，需要减去$2\pi$把辐角拉回范围，此时$\sqrt{z^2} = re^{i(\theta - \pi)} = -z$。

这个主分支在虚轴（$Re(z)=0$）上是不连续的：比如取正虚轴上的点$z=iy$（$y>0$），从第一象限（$Re(z)>0$）趋近时，$\sqrt{z^{2}$趋近于$iy$；从第二象限（$Re(z)<0$）趋近时，$\sqrt{z}2}$趋近于$-iy$——函数值发生跳变，自然不可导。

而虚轴完全包含在圆盘$|z|<\epsilon$内（只要$\epsilon>0$），所以这个主分支在整个圆盘上不是全纯的——全纯要求区域内每一点都可导，而虚轴上的点既不连续也不可导。

这里和$\sqrt{z}$的情况对比一下：$\sqrt{z}$的主分支在包含原点的圆盘上不解析，是因为绕原点的闭积分不为零（违反柯西定理）；而$\sqrt{z^2}$的主分支绕原点积分结果为0，但它依然不全纯，因为存在不连续的分支割线（虚轴），不满足全纯函数的连续性要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者TheWanderer