嘿，先帮你捋个关键前提：题目里的矩阵维度应该是笔误啦——要让PQ和QP能合法相乘，P得是n×m阶实矩阵，Q得是m×n阶实矩阵（两个n×m矩阵没法做乘法），我就基于这个合理设定来分析咯。

我们核心用的是矩阵秩的基本不等式：对任意可乘矩阵A、B，有 rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))，同时rank(AB)不会超过A的行数或B的列数。

逐个分析选项 #

(a) rank(PQ)=n #

PQ是n阶方阵，秩为n意味着它是满秩可逆的。要满足这个条件，需要min(rank(P), rank(Q)) ≥ n。而rank(P)最大是min(n,m)，rank(Q)最大是min(m,n)，所以只要m ≥ n，我们就能构造出符合条件的矩阵：

• 让P的前n列是n阶单位矩阵I_n，剩余m-n列全为0；
• 让Q的前n行是I_n，剩余m-n行全为0；
  此时PQ = I_n，秩正好是n。所以(a)是可能的。

(b) rank(QP)=m #

和(a)对称，QP是m阶方阵，满秩可逆的条件是min(rank(Q), rank(P)) ≥ m，也就是n ≥ m。同样可以构造例子：

• 让Q的前m列是m阶单位矩阵I_m，剩余n-m列全为0；
• 让P的前m行是I_m，剩余n-m行全为0；
  此时QP = I_m，秩为m。所以(b)是可能的。

(c) rank(PQ)=m #

PQ是n阶方阵，它的秩上限是n：

• 如果m > n：rank(PQ)最多是n，肯定小于m，这种情况不可能；
• 如果m ≤ n：可以轻松构造例子，比如n=3、m=2时，取P = [[1,0],[0,1],[0,0]]，Q = [[1,0,0],[0,1,0]]，计算得PQ = [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]，秩正好是2=m。
  所以(c)不是绝对不可能，仅在m > n时无法成立。

(d) rank(QP)=k，其中k是(m+n)/2的最小整数取值 #

这里的“最小整数取值”应该指的是不小于(m+n)/2的最小整数（即上取整⌈(m+n)/2⌉）。QP是m阶方阵，秩上限是min(m,n)：

• 当⌈(m+n)/2⌉ ≤ min(m,n)时，是可能的，比如m=n=3，k=3，让QP=I_3就行；
• 当⌈(m+n)/2⌉ > min(m,n)时，比如m=1、n=3，k=2，但min(1,3)=1，rank(QP)最多是1，不可能等于2，这种情况就无法成立。

总结 #

如果题目是问绝对不可能（无论m,n取何自然数都无法成立）的情况，那没有这样的选项；但如果是问存在m,n使得该情况无法成立的选项，那(c)和(d)都符合。不过结合考试题的常见考法，大概率是要指出：当m > n时(c)不可能，当⌈(m+n)/2⌉ > min(m,n)时(d)不可能，而(a)(b)在对应条件下是可能的。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517310