Hey，这个问题其实不用硬着头皮枚举所有组合，找对规律分分钟就能算出来！我来给你拆解清楚：

不管是几位数字，我们只需要算出每个数字在每个数位上出现的次数，再结合数位的权重（比如千位是1000，百位是100），就能快速算出总和。

情况1：所有数字都是非零的不同数字 #

拿你举的例子：用1、2、3、4组成所有4位数。

• 每个数位（千位、百位、十位、个位）上，任意一个数字会出现多少次？
  固定某一个数位的数字（比如千位选1），剩下的3个数字可以在剩下的3个数位任意排列，排列数是3! = 6次。也就是说，每个数字在每个数位上都会出现(n-1)!次（n是数字的总个数）。
• 计算每个数位的总和：所有数字的和是1+2+3+4=10，每个数位的总和就是10*6=60。
• 最后乘以数位的权重和：千位权重1000，百位100，十位10，个位1，权重和是1111。所以总和就是60*1111=66660，和你枚举的结果完全一致！

推广成通用公式：
假设我们有k个不同的非零数字，它们的和为S，那么所有k位数的总和为：

总和 = S * (k-1)! * (10^k - 1)/9

这里(10^k - 1)/9就是111...1（k个1），刚好是所有数位权重的和。

情况2：数字包含0的特殊情况 #

如果数字里有0，要注意0不能在最高位，这时候需要稍微调整计算逻辑：
比如用0、1、2组成所有3位数：

1. 先算「包含0开头的所有排列（也就是所有3位组合，包括无效的012这种）」的总和：用上面的公式，S=0+1+2=3，k=3，总和是3*2!*111=666。
2. 再减去「以0开头的无效数的总和」：这些无效数其实是用剩下的数字（1、2）组成的2位数，总和是(1+2)*1!*11=33。
3. 最终有效数的总和就是666-33=633，和实际枚举的102+120+201+210的结果一致。

对应的通用公式：
假设我们有k个不同数字（包含0），所有数字的和为S，那么所有有效k位数的总和为：

总和 = [S*(k-1)!*(10^k -1)/9] - [(S-0)*(k-2)!*(10^(k-1)-1)/9]

简单来说，就是先算所有可能的排列总和，再减去以0开头的那些数的总和。

再举个验证例子 #

用0、1、2、3组成所有4位数：

• 所有排列总和：(0+1+2+3)*3!*1111=6*6*1111=39996
• 以0开头的数总和：(1+2+3)*2!*111=6*2*111=1332
• 最终总和：39996-1332=38664
  实际枚举计算的话，18个有效数的总和确实是38664，完全匹配！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kingsley Zhong