二分法应用于连续函数：判断下列命题何者可能为假

阿华AIGC实验室

2026-5-19

二分法区间序列的命题判断

咱们来分析这个连续函数二分法的问题：对连续函数应用二分法得到区间序列$[a_0, b_0], [a_1, b_1], \dots$，设$r=\lim_{n\to \infty}a_n$，判断下列陈述中哪一个可能为假：

(a) $a_0\leq a_1\leq a_2\leq \dots$
这个是真命题。二分法中，每次要么保持左端点不变，要么将左端点移到当前区间的中点，因此${a_n}$是单调不减序列。
(b) $|r-2^{-1}(a_n+b_n)|\leq 2^{-n}(b_0-a_0), (n\geq 0)$
这个是真命题。第$n$次区间的长度为$b_n - a_n = \frac{b_0 - a_0}{2^n}$，而$r$属于$[a_n, b_n]$，$2^{-1}(a_n+b_n)$是区间中点，$r$到中点的距离最多是区间长度的一半，即$\frac{b_0 - a_0}{2^{n+1}}$，显然小于等于$\frac{b_0 - a_0}{2^n}$，不等式成立。
(c) $|r-2^{-1}(a_{n+1}+b_{n+1})|\leq |r-2^{-1}(a_n+b_n)|, (n\geq 0)$
这个可能为假。举个例子：假设$r$刚好是第$n$次区间的中点$c_n = \frac{a_n + b_n}{2}$，此时$|r - c_n| = 0$。如果下一次二分选择左半区间$[a_n, c_n]$，那么新的中点$c_{n+1} = \frac{a_n + c_n}{2}$，此时$|r - c_{n+1}| = \frac{c_n - a_n}{2} = \frac{b_0 - a_0}{2^{n+2}} > 0$，这就违背了“≤”的关系，所以该陈述可能不成立。
(d) $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n], (n\geq 0)$
这个是真命题。二分法每次从当前区间中选取一半作为下一个区间，必然满足子区间包含于原区间。
(e) $|r-a_n|=O(2^{-n}) \text{ as } n\to \infty$
这个是真命题。因为$r \in [a_n, b_n]$，所以$|r - a_n| \leq b_n - a_n = \frac{b_0 - a_0}{2^{n}$，显然属于$O(2}{-n})$的量级。
(f) $|r-c_n|<|r-c_{n-1}|, (n\geq 0)$
这里$n=0$时$c_{-1}$无定义，推测应为$n\geq1$。即便如此，这个陈述也可能为假（比如(c)的例子中，$|r - c_{n+1}| > |r - c_n|$），但题目中$n\geq0$的写法存在定义问题，相比之下(c)的假例更直接清晰。