哈哈，这个几何遮挡问题我之前琢磨过，分三维和二维两种情况给你拆解清楚：

假设我们有一个球面（半径记为$R$），观测点到球心的直线距离为$D$；现在要放置一个圆形圆盘与球面相切（切点刚好在观测点和球心的连线上），要让圆盘刚好从观测点视角完全挡住整个球面，咱们来推导圆盘的最小半径$s$：

• 先明确几何位置：观测点$P$、球心$O$、切点$T$在同一条直线上，$PO = D$，$OT = R$，所以观测点到圆盘所在平面的距离$PT = D - R$。
• 从观测点$P$向球面作切线，切线与球面交于$Q$点，根据球的性质，$OQ \perp PQ$（切线垂直于过切点的半径），用勾股定理算切线长：$PQ = \sqrt{D^2 - R^2}$。
• 这条切线会和圆盘所在平面（过$T$且垂直于$PO$的平面）交于$S$点，$TS$就是圆盘的半径$s$，且$TS \perp PO$。
• 核心用相似三角形：$\triangle PTS$和$\triangle PQO$都是直角三角形，且共享$\angle P$，对应边成比例：
  $$\frac{s}{R} = \frac{PT}{PQ}$$
• 代入$PT = D-R$和$PQ = \sqrt{D^2-R2}$，化简（注意$\sqrt{D^2-R2} = \sqrt{(D-R)(D+R)}$）后得到最终公式：
  $$s = R \cdot \sqrt{\frac{D-R}{D+R}}$$

这是三维场景的简化版，二维里我们有一个圆（半径$r$），观测点到圆心的距离为$d$；要放一条垂直于观测点-圆心连线的线段（对应三维的圆盘），线段与圆相切于连线上的点，要让线段刚好从观测点视角完全挡住整个圆，求线段的半长$h$：

• 逻辑和三维完全一致，同样用相似三角形推导：
  $$\frac{h}{r} = \frac{d - r}{\sqrt{d^2 - r^2}}$$
• 化简后得到：
  $$h = r \cdot \sqrt{\frac{d - r}{d + r}}$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者spraff