嘿，这个不等式是实数域里非常经典的基础结论，我给你整理了几种直观又严谨的证明方法，都是日常推导中常用的思路：

这应该是最容易想到的方法，核心是把式子转化为非负平方和的形式：

1. 先把不等式右边的项移到左边，得到：
   a² + b² + c² - ab - bc - ac
2. 给整个式子乘以2，目的是方便配方：
   2(a² + b² + c² - ab - bc - ac) = (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²)
3. 上面的式子可以转化为三个完全平方的和：
   (a - b)² + (b - c)² + (c - a)²
4. 因为任意实数的平方都大于等于0，所以这个平方和≥0，那么原式子：
   a² + b² + c² - ab - bc - ac = (1/2)[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] ≥ 0
   移项后就得到 a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac，当且仅当a = b = c时等号成立。

如果你熟悉基本的均值不等式，这个方法会更简洁：
对于任意两个实数x和y，我们有基本不等式：x² + y² ≥ 2xy（等号当且仅当x=y时成立）。
我们可以对三组变量分别应用这个不等式：

• 针对a和b：a² + b² ≥ 2ab
• 针对b和c：b² + c² ≥ 2bc
• 针对c和a：c² + a² ≥ 2ac
  把这三个不等式左右两边分别相加：
  2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ac)
  两边同时除以2，就直接得到原不等式：a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac，等号条件同样是a = b = c。

这个方法从函数的角度切入，适合用代数思想分析：
我们把原不等式看成关于变量a的二次函数：
f(a) = a² - (b + c)a + (b² + c² - bc)
现在要证明对于任意实数a，f(a) ≥ 0恒成立。
对于二次函数Ax² + Bx + C（A>0），若判别式Δ ≤ 0，则函数值恒≥0。
这里A=1>0，计算判别式：

Δ = (b + c)² - 4×1×(b² + c² - bc)
= b² + 2bc + c² - 4b² - 4c² + 4bc
= -3b² + 6bc - 3c²
= -3(b² - 2bc + c²)
= -3(b - c)²

因为(b - c)² ≥ 0，所以Δ = -3(b - c)² ≤ 0，因此f(a) ≥ 0对所有实数a成立，也就是原不等式恒成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Baby