让我们一步步拆解这个问题，把核心逻辑理清楚：

第一步：先明确1/k是有限小数的条件 #

题目里说1/k的小数部分恰好有n位——这意味着1/k必须是有限小数（无限小数的小数部分是无限长的，不可能“恰好n位”）。而一个分数是有限小数的充要条件是：分母k的质因数只能是2和5，也就是k可以写成 k=2^a * 5^b，其中a、b是非负整数（比如k=2就是2^1*50，k=5就是2^0*51）。

第二步：搞懂“小数部分恰好有n位”的等价条件 #

当k=2^a*5b时，1/k的小数位数怎么确定？我们可以把分母凑成10的幂次来看：

• 如果a ≥ b，那么1/k = 5^(a-b)/10a，这个分数的分子只有质因数5，不被2整除，所以写成小数后末尾不会有0，小数位数就是a；
• 如果b ≥ a，那么1/k = 2^(b-a)/10b，分子只有质因数2，不被5整除，小数末尾同样无0，位数就是b。

总结一下：1/k的小数部分恰好有n位，等价于max(a,b)=n（a和b中较大的那个等于n）——因为这样才能保证小数位数是n，且末尾没有0（不会被约成更少位数的小数）。

第三步：找到满足条件的最小k #

现在我们要找所有满足max(a,b)=n的k=2^a*5b里最小的那个，分两种情况看：

• 当a=n时，b可以取0到n，对应的k=2^n*5b。显然b越小k越小，最小的情况是b=0，此时k=2^n；
• 当b=n时，a可以取0到n，对应的k=2^a*5n。a越小k越小，最小的情况是a=0，此时k=5^n。

因为2<5，所以对任意正整数n，2^n肯定比5n小。而且其他满足条件的k（比如a=n,b≥1或者b=n,a≥1）都比2^{n大（比如2}n*5^1=5*2n，明显大于2^{n）。所以满足条件的最小k就是2}n，也就是f(n)=2^n。

第四步：计算f(2010)的正除数个数 #

f(2010)=2^{2010，这是一个质数的幂次。根据数论里的除数个数公式：如果一个数的质因数分解是`p^e`（p是质数，e是正整数），那么它的正除数个数是`e+1`——因为除数可以是p}0、p^{1、……、p}e，一共e+1个。

这里2是质数，e=2010，所以f(2010)的正除数个数就是2010+1=2011。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者A Piercing Arrow