首先咱们先把定义和定理再明确下，方便对照理解：

设$(X, T )$为拓扑空间，A是X的子集。若X中的点x满足：每个包含x的开集U都包含A中异于x的点，则x是A的极限点（或聚点、累积点）。记$A'$为A的所有极限点构成的集合。

定理：设$(X, T )$为拓扑空间，若A是X的任意子集，则$Cl(A) = A ∪ A' $。

你困惑的点其实很关键——什么时候$Cl(A) ≠ A'$？本质上就是当A中存在不属于$A'$的点的时候，这些点就是咱们常说的「孤立点」，或者更准确地说：点$x \in A$，但存在一个包含x的开集U，使得$U \cap A = {x}$，也就是x在A里“独一份”，周围没有其他A的点。

我给你举两个直观的例子，一看就明白：

• 例子1：带孤立点的混合集合
  取实数集$\mathbb{R}$，用咱们最熟悉的欧几里得拓扑，令$A = {0} \cup [1,2]$。

  • 先算$A'$：区间[1,2]里的每个点都是极限点——随便拿个点$x \in [1,2]$，任何包含x的开区间里肯定还有[1,2]里的其他点；但0不是极限点，因为你可以取开集$(-0.5, 0.5)$，里面只有0属于A，没有其他A中的点。所以$A' = [1,2]$。
  • 再算$Cl(A)$：闭包是包含A的最小闭集，这里A本身就是闭集（孤立点0是闭集，区间[1,2]也是闭集，闭集的并还是闭集），所以$Cl(A) = {0} \cup [1,2]$。
    这时候明显$Cl(A) ≠ A'$，差异就来自A里的孤立点0——它属于A，但不属于$A'$，所以被加到$A'$里才得到闭包。

• 例子2：有限集合
  还是$\mathbb{R}$的欧几里得拓扑，令$A = {1,2,3}$，这是个有限集。

  • $A'$是空集：每个点比如1，你可以取开区间$(0.5,1.5)$，里面只有1属于A，没有其他点，所以1不是极限点；同理2、3也不是，所以$A' = \emptyset$。
  • $Cl(A)$就是A本身，因为有限集在欧几里得拓扑里都是闭集。
    这时候$Cl(A) = {1,2,3} ≠ \emptyset = A'$，差异更极端——A里所有点都不是极限点，闭包就是A自己，而极限点集是空的。

总结一下：$Cl(A)$是$A$和$A'$的并集，所以只有当$A$里的每一个点都是$A$的极限点（也就是A没有孤立点）时，$Cl(A) = A'$。只要A里有哪怕一个孤立点，$Cl(A)$就会比$A'$多这些点，从而两者不相等。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Faust