当然可以！完全不需要提前知道右侧的表达式，咱们直接从已知的公式(1)一步步推导就行，过程其实非常直观：

步骤1：简化目标求和式 #

首先看咱们要推导的式子：
$$\sum_{i=0}^{n-1} i^2$$
注意当$i=0$时，$0^2=0$，加这个项不会改变求和结果，所以这个式子等价于：
$$\sum_{i=1}^{n-1} i^2$$

步骤2：复用已知公式(1) #

已知公式(1)是通用的平方和公式，对任意正整数$k$都成立：
$$\sum_{i=1}^k i^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6},,,, \tag{1} $$
现在我们的求和上限是$n-1$，那直接把公式里的$k$替换成**$n-1$**就可以了，代入后得到：
$$\sum_{i=1}^{n-1} i^2=\frac{(n-1)\left[(n-1)+1\right]\left[2(n-1)+1\right]}{6}$$

步骤3：化简右侧表达式 #

现在把右边的式子逐项化简：

• 中间的$(n-1)+1$直接等于$n$；
• 最后一项$2(n-1)+1$展开计算：$2n-2+1=2n-1$；

把这些化简后的结果代回去，右边就变成了：
$$\frac{(n-1) \times n \times (2n-1)}{6}$$

步骤4：关联回目标式 #

因为我们已经知道$\sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \sum_{i=1}^{n-1} i^2$，所以直接替换就能得到最终结果：
$$\sum_{i=0}^{n-1} i^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$

小验证：代入具体数值确认 #

如果你还是有点疑惑，不妨用具体的$n$值测试：

• 当$n=3$时，左边$\sum_{i=0}^{2}i2=0+1+4=5$，右边$\frac{3×2×5}{6}=5$，完全匹配；
• 当$n=4$时，左边$\sum_{i=0}^{3}i2=0+1+4+9=14$，右边$\frac{4×3×7}{6}=14$，也完全一致。

核心思路就是利用通用公式的变量替换，把已知公式适配到我们需要的求和范围，全程不需要提前知道最终的表达式~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者DontAskTheEye