嘿，别困惑，这个证明其实用复数的基本性质就能轻松搞定，咱们一步步拆解来看：

第一步：把连乘转化为单指数形式 #

首先注意到，左边的乘积里1其实就是ω⁰，所以整个式子是从ω⁰到ωⁿ⁻¹的连乘。根据同底数幂相乘的规则——指数相加，咱们可以把它写成：
1·ω·ω²·…·ωⁿ⁻¹ = ω^(0+1+2+…+(n-1))

第二步：计算指数的求和项 #

0到n-1是个标准的等差数列，用等差数列求和公式就能算出总和：
0+1+2+…+(n-1) = n*(n-1)/2
把这个结果代入上式，左边就变成了：
左边 = ω^(n(n-1)/2)

第三步：代入ω的定义化简 #

因为ω = e^(2πi/n)，把它代入上面的式子，再用指数幂的运算规则(a^b)^c = a^(b*c)展开：
左边 = [e^(2πi/n)]^(n(n-1)/2) = e^(2πi/n * n(n-1)/2)
这里分子分母的n可以直接约掉，化简后得到：
左边 = e^(πi(n-1))

第四步：用欧拉公式转化为实数形式 #

咱们都知道欧拉公式里e^(πi) = -1，那e^(πi(n-1))就等于(e^(πi))^(n-1)，也就是(-1)^(n-1)。

这样左边就完全等于右边啦，是不是逻辑很顺畅？

举几个小例子验证下： #

• 当n=2时，ω=-1，乘积是1*(-1)=-1，而(-1)^(2-1)=-1，成立；
• 当n=3时，ω是三次单位根，乘积1·ω·ω²=ω³=1，(-1)^(3-1)=1，成立；
• 当n=4时，ω=i，乘积1·i·(-1)·(-i)=-1，(-1)^(4-1)=-1，成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tony Mau