嘿，这个问题绝对是线性代数里的“经典混淆点”，我当年学的时候也绕了好一阵子。今天就从定义、核心本质、区别和关联这几个维度给你掰扯清楚——

一、先把核心定义搞透 #

1. 矩阵等价 #

如果两个**任意尺寸（m×n）**的矩阵A和B，存在可逆的m阶矩阵P和n阶矩阵Q，使得 B = PAQ，那A和B就是等价的。

• 核心本质：本质上是同一个线性变换在不同的输入基和输出基下的矩阵表示，或者更直白地说：通过初等行变换+初等列变换，能把A变成B。
• 关键特性：等价的充要条件是秩相同。不管是方阵还是非方阵，只要秩一样，就一定等价。

2. 行等价 #

如果两个**任意尺寸（m×n）**的矩阵A和B，存在可逆的m阶矩阵P，使得 B = PA，那就是行等价的。

• 核心本质：它们的行向量组是等价的（可以互相线性表示），说白了就是：只用初等行变换，就能把A变成B。
• 关键特性：行等价的矩阵行秩相同，对应的齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 完全同解，而且列向量组的线性相关性完全一致（比如A的第1、3列线性相关，那B的第1、3列也必然线性相关）。

3. 矩阵相似 #

只有n阶方阵才能谈相似：如果存在n阶可逆矩阵P，使得 B = P⁻¹AP，那A和B相似。

• 核心本质：它们是同一个线性变换在不同基下的矩阵表示——当你把线性变换的基换成P的列向量构成的基时，矩阵就从A变成了P⁻¹AP。
• 关键特性：相似矩阵是“亲密度最高”的，它们的秩、行列式、迹、特征值（包括重数）、特征多项式、极小多项式全一模一样。唯一的区别是特征向量：B的特征向量是P⁻¹乘以A的特征向量。

二、三者的核心区别 #

我用“严格程度”维度来梳理对比：

• 适用范围：等价和行等价可以是任何m×n矩阵，相似只能是n阶方阵。
• 变换限制：等价（PAQ）允许行+列初等变换；行等价（PA）只允许行初等变换；相似（P⁻¹AP）是特殊的等价——要求列变换矩阵Q必须是行变换矩阵P的逆，限制最严格。
• 保有的性质：相似保的性质最多（从秩到特征值全保）；行等价次之（保行秩、齐次方程组同解等）；等价只保一个核心性质：秩。

三、三者的数学关联 #

它们是“包含与被包含”的关系，但也存在特殊情况：

1. 相似 ⊂ 等价：所有相似矩阵一定是等价矩阵（因为P⁻¹AP可以写成PAQ，这里Q=P⁻¹，满足等价定义），但等价矩阵不一定相似（比如秩相同但特征值不同的两个方阵，就不可能相似）。
2. 行等价 ⊂ 等价：所有行等价矩阵一定是等价矩阵（因为PA可以写成PAE，E是单位矩阵，Q=E，满足等价定义），但等价矩阵不一定行等价（比如通过列变换得到的等价矩阵，没法只用行变换还原）。
3. 相似和行等价无必然包含：
   • 相似矩阵不一定行等价：比如A=[[1,2],[3,4]]和它的相似矩阵B=[[3,2],[4,2]]，没法只用行变换把A变成B。
   • 行等价的方阵不一定相似：比如单位矩阵E和矩阵[[1,0],[0,2]]，它们行等价（第二行乘2就能得到），但E只能和自己相似，所以二者不相似。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Abdu Magdy