嘿，这个问题我来帮你捋清楚！先给你明确：用变分法的思路是可行的，但处理带约束的多元函数极值，拉格朗日乘数法其实更直接好上手，另外还有个更快捷的均值不等式方法（不过要注意实数的范围）。先从你疑惑的三元函数导数说起：

你要优化的函数是$f(x,y,z)=xyz²$，多元函数里的“导数”对应偏导数——就是把其他变量当成常数，只对目标变量求导：

• 对x求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x} = yz²$（把y、z看作常数，只对x求导）
• 对y求偏导：$\frac{\partial f}{\partial y} = xz²$（同理，固定x、z）
• 对z求偏导：$\frac{\partial f}{\partial z} = 2xyz$（固定x、y，对$z²$求导得2z，再乘xy）

用变分法的话，本质是利用约束条件$x+y+z=2$的变分$\delta x + \delta y + \delta z = 0$，联立函数的变分$\delta f = \frac{\partial f}{\partial x}\delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial z}\delta z = 0$来解极值条件，这和拉格朗日乘数法是等价的，但后者步骤更清晰。

这是处理带约束极值问题的标准操作，步骤如下：

1. 构造拉格朗日函数，把约束和目标函数结合起来：
   $L(x,y,z,\lambda) = xyz² - \lambda(x+y+z-2)$
   这里$\lambda$是拉格朗日乘数，用来关联约束条件。
2. 对所有变量求偏导并令其为0：
   • $\frac{\partial L}{\partial x} = yz² - \lambda = 0$ → $yz² = \lambda$ (1)
   • $\frac{\partial L}{\partial y} = xz² - \lambda = 0$ → $xz² = \lambda$ (2)
   • $\frac{\partial L}{\partial z} = 2xyz - \lambda = 0$ → $2xyz = \lambda$ (3)
   • $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x+y+z-2) = 0$ → $x+y+z=2$ (4)
3. 联立方程求解：
   从(1)(2)可得$yz²=xz²$，分两种情况讨论：
   • 情况1：z≠0（即$z²≠0$），此时可以两边约去$z²$，得到$x=y$。
     把$x=y$代入约束(4)：$2x + z = 2$ → $z=2-2x$。
     再把$x=y$和$z=2-2x$代入(1)(3)的等式$yz²=2xyz$：
     $x(2-2x)² = 2x·x·(2-2x)$
     展开整理后得到$4x(1-x)(2x-1)=0$，解得三个可能的解：
     • $x=0$：则$y=0,z=2$，此时$f=0×0×2²=0$
     • $x=1$：则$y=1,z=0$，此时$f=1×1×0²=0$
     • $x=\frac{1}{2}$：则$y=\frac{1}{2},z=1$，此时$f=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1²=\frac{1}{4}$
   • 情况2：z=0，代入约束得$x+y=2$，此时$f=xy×0=0$

题目里说x、y、z是实数，那有没有可能$xyz²$取到比0更小的值？比如x正y负（或反过来），z≠0，这时候$xyz²$是负数，但我们要的是最大值，显然$\frac{1}{4}$比所有负数都大，所以不用考虑这种情况。

如果我们优先考虑非负实数的情况（毕竟负数会让结果变小，不影响最大值），可以用均值不等式快速求解：
把约束条件拆成$x + y + \frac{z}{2} + \frac{z}{2} = 2$，四个非负项的和为2。
根据均值不等式：$\frac{a+b+c+d}{4} ≥ \sqrt[4]{abcd}$（等号当且仅当$a=b=c=d$时成立）
令$a=x,b=y,c=d=\frac{z}{2}$，代入得：
$\frac{2}{4} ≥ \sqrt[4]{x·y·\frac{z}{2}·\frac{z}{2}}$
两边四次方后整理：
$(\frac{1}{2})^4 ≥ \frac{xyz²}{4}$ → $\frac{1}{16} ≥ \frac{xyz²}{4}$ → $xyz² ≤ \frac{1}{4}$
等号成立条件是$x=y=\frac{z}{2}$，结合$x+y+z=2$，解得$x=y=\frac{1}{2},z=1$，和之前的结果完全一致！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user517526