嘿，作为备考奥赛啃过射影几何的过来人，这个问题我太有发言权了，给你拆解清楚：

1. 所有射影几何结论是否都能应用于欧氏几何？ #

答案是：涉及射影不变量的结论完全可以，但要注意“转化规则”。

射影几何的核心是研究结合性、共线/共点、交比这些不依赖长度、角度的射影不变性质，这些性质在欧氏平面里是完全成立的——因为欧氏平面本质上就是射影平面去掉无穷远直线后的“普通区域”。

但要注意两点：

• 射影几何里没有度量概念（比如长度、垂直、相似），所以本身就不存在这类结论，自然也不存在“能不能用”的问题；
• 当射影结论涉及无穷远元素（比如平行直线的交点）时，你需要把它转化成欧氏里的对应表述：比如射影里“两条直线交于一点”，在欧氏里就是“要么交于普通点，要么平行（对应交于无穷远点）”。

简单说：只要是射影几何里关于点线结合、共线共点、交比的结论，套用到欧氏几何里，把无穷远元素对应成平行情况，就完全适用。

2. 完全四点形的三个对角点相关公理在欧氏几何中是否成立？ #

先明确这条公理：完全四点形的三个对角点不共线——这是射影几何的基本定理，在欧氏几何里同样成立，分两种情况看：

• 无平行边的四点形：比如任意一个凸四边形（非平行四边形），三个对角点都是欧氏平面里的普通点，你随便画个图就能看出来，这三个点绝对不会共线，直接符合结论；
• 有平行边的四点形：比如平行四边形，此时两组对边分别平行，对应的交点是两个无穷远点，加上对角线的交点（普通点）。这时候在射影平面里，这三个点依然不共线——因为两个无穷远点在无穷远直线上，而普通点不在这条直线上，转化到欧氏视角就是：没有一条普通的欧氏直线能同时经过这三个点（毕竟无穷远点是平行直线的“虚拟交点”），本质上还是满足“不共线”的要求。

哪怕是只有一组对边平行的梯形，对应的一个对角点是无穷远点，另外两个是普通点，这三个点也不会共线——普通点不在无穷远直线上，自然没法和无穷远点共线于普通直线。

所以这条公理在欧氏几何里是完全成立的，只是遇到平行情况时需要把无穷远点的概念对应上就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Soumil Aggarwal