嗨，咱们来仔细拆解这个问题——先把关键术语的定义捋明白，再一步步验证你提到的书本结论到底是否成立。

核心定义再明确 #

首先，咱们把你给出的三个关键概念再梳理清楚，避免理解偏差：

• 严格非对称关系（Asymmetric relation）：给定集合A及A上的关系R，只要R里存在任意一个有序对(x, y)，那么(y, x)绝对不可能出现在R里。这里还隐含一个细节：严格非对称关系里不能有任何自反对(x, x)，因为如果(x, x)在R里，那它的逆也是(x, x)，直接违反定义。
• 非对称关系（Nonsymmetric relation）：只要关系R里存在至少一组(x, y)，使得(y, x)不在R里，那R就是非对称关系。换句话说，只要R不是完全对称的关系（完全对称指只要(x,y)在R里，(y,x)就一定在R里），它就符合非对称关系的定义。
• 补集（Complement）：关系R的补集（暂时记作$\overline{R}$）包含笛卡尔积A×A中所有不属于R的有序对，也就是$\overline{R} = A×A \setminus R$。

验证结论：严格非对称关系的补集是非对称关系吗？ #

咱们分两种核心情况来分析：

情况1：严格非对称关系R非空 #

如果R是一个非空的严格非对称关系，那R里至少存在一个有序对(x, y)。根据严格非对称的定义，(y, x)一定不在R里，所以(y, x)必然属于补集$\overline{R}$，而(x, y)不属于$\overline{R}$（因为它在R里）。
这就直接满足了非对称关系的定义：$\overline{R}$里存在(y, x)这个元素，它的逆(x, y)不在$\overline{R}$里。所以这种情况下，书本的结论是成立的——严格非对称关系的补集确实是非对称关系。

举个具体例子：设A={1,2,3}，严格非对称关系R={(1,2),(2,3)}，它的补集$\overline{R}$包含(3,2)（因为(2,3)在R里，所以(3,2)不在R里，属于补集），而(2,3)不在$\overline{R}$里，完美符合非对称关系的条件。

情况2：严格非对称关系R为空 #

空关系也是严格非对称的（因为没有任何有序对，自然满足“任意(x,y)∈R则(y,x)∉R”的要求），但它的补集情况就不一样了：

• 当集合A包含至少两个元素时，$\overline{R}=A×A$（也就是包含所有可能的有序对）。这时候对于$\overline{R}$里的任意(x,y)，(y,x)也一定在$\overline{R}$里（因为A×A包含所有有序对），所以$\overline{R}$是完全对称关系，不符合非对称关系的定义。
• 当集合A是单元素集时，A×A只有一个自反对(x,x)，空关系R的补集就是{(x,x)}，这也是完全对称关系，同样不符合非对称关系的定义。

总结 #

你的书籍里的结论在大多数场景下是成立的——只要严格非对称关系R是非空的，它的补集就一定是非对称关系。但如果R是空关系（极端情况），补集会是完全对称关系，不满足非对称关系的定义。书本可能默认了讨论的是非空的严格非对称关系，所以没提这个特例。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Roger Costello