嘿，这个问题问得挺有意思的——确实可以只用ε-δ语言的连续性定义来证明极值定理，不过过程不像用紧致性定理那么直接，得靠反证法结合实数的基本性质一步步抠细节。先明确极值定理的核心内容：若函数( f: [a,b] \to \mathbb{R} )在闭区间([a,b])上连续（这里的连续严格遵循ε-δ定义：对任意( x_0 \in [a,b] )，任意( \varepsilon > 0 )，存在( \delta > 0 )，使得当( x \in [a,b] )且( |x - x_0| < \delta )时，( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon )），则( f )在([a,b])上能取到最大值和最小值。

下面是具体的证明过程：

第一步：证明( f )在([a,b])上有界 #

用反证法：假设( f )在([a,b])上无界，即不存在实数( K > 0 )，使得对所有( x \in [a,b] )，( |f(x)| \leq K )。

我们用区间二分法构造矛盾：

• 令( I_0 = [a,b] )，取中点( c_0 = \frac{a+b}{2} )，则( I_0 )的两个子区间([a,c_0])和([c_0,b])中至少有一个子区间上( f )无界，记这个子区间为( I_1 = [a_1,b_1] )。
• 重复这个过程，得到闭区间序列( I_n = [a_n,b_n] )，满足：
  1. ( I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \dots )
  2. ( b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0 )（当( n \to \infty )时）
  3. ( f )在每个( I_n )上无界

根据实数的区间套定理（这是实数完备性的核心性质，必须用到——否则在有理数域上，连续函数可能没有极值），存在唯一的点( x_0 \in \bigcap_{n=1}^\infty I_n )，显然( x_0 \in [a,b] )。

因为( f )在( x_0 )处连续，取( \varepsilon = 1 )，存在( \delta > 0 )，使得当( x \in [a,b] )且( |x - x_0| < \delta )时，( |f(x) - f(x_0)| < 1 )，即( |f(x)| < |f(x_0)| + 1 )——这说明( f )在( (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap [a,b] )上有界。

但当( n )足够大时，( I_n \subset (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \cap [a,b] )（因为( b_n - a_n \to 0 )，且( x_0 \in I_n )），这就和( f )在( I_n )上无界的假设矛盾了。因此( f )在([a,b])上必有界。

第二步：证明( f )能取到上确界（最大值） #

设( M = \sup{ f(x) | x \in [a,b] } )，由实数的上确界原理（完备性的另一等价性质），( M )存在（因为( f )有界）。现在要证明存在( c \in [a,b] )，使得( f(c) = M )。

依旧用反证法：假设对所有( x \in [a,b] )，( f(x) < M )。

定义函数( g(x) = \frac{1}{M - f(x)} )，因为( f(x) < M )，所以( g(x) > 0 )。接下来用ε-δ定义验证( g )的连续性：
对任意( x_0 \in [a,b] )，因为( f(x_0) < M )，取( \varepsilon_0 = \frac{M - f(x_0)}{2} > 0 )，由( f )的连续性，存在( \delta_1 > 0 )，使得当( |x - x_0| < \delta_1 )时，( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon_0 )，即( f(x) < f(x_0) + \varepsilon_0 = M - \frac{M - f(x_0)}{2} )，所以分母( M - f(x) > \frac{M - f(x_0)}{2} )，有下界。
再结合( f )的连续性，对任意( \varepsilon > 0 )，存在( \delta_2 > 0 )，使得当( |x - x_0| < \delta_2 )时，( |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon \cdot \left( \frac{M - f(x_0)}{2} \right)^2 )。取( \delta = \min(\delta_1, \delta_2) )，则当( |x - x_0| < \delta )时，( |g(x) - g(x_0)| = \frac{|f(x) - f(x_0)|}{(M - f(x))(M - f(x_0))} < \varepsilon )，即( g )在( x_0 )处连续。

由第一步的结论，( g )在([a,b])上有界，即存在( K > 0 )，使得对所有( x \in [a,b] )，( g(x) \leq K )，也就是( \frac{1}{M - f(x)} \leq K )，整理得( f(x) \leq M - \frac{1}{K} )。

但这和( M )是( f )在([a,b])上的上确界矛盾（因为上确界是最小的上界，而( M - \frac{1}{K} < M )也是一个上界）。因此假设不成立，必存在( c \in [a,b] )，使得( f(c) = M )，即( f )取到最大值。

同理可证( f )能取到最小值( m )。

关键说明 #

这里用到的区间套定理和上确界原理是实数体系的基本性质，属于极值定理成立的必要前提（脱离实数完备性，比如在有理数域上，连续函数可能没有极值），而整个过程中连续性的应用都是严格基于ε-δ定义的，没有借助其他额外的分析工具。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者asn32