嘿，我看了你的求解过程，发现两处问题哦：一是齐次方程组的解算错了，二是零度的结论不对，咱们一步步来梳理正确的解法～

已知向量空间$V$以${u_1, u_2, u_3}$为基，线性变换$T:V→V$满足：

• $T(u_1)=u_1 −u_2 −u_3$
• $T(u_2)=2u_2 −6u_3$
• $T(u_3)=−u_1 +3u_2 −5u_3$

你得到的零空间形式$(4k,3k,k)$其实不满足$T(v)=0$（代入验证就能发现结果不为零向量），而且就算这个解是对的，它也是一维空间，对应的零度应该是1，不是3哦。

1. 写出T在基下的矩阵 #

首先把线性变换$T$转化为矩阵形式：因为$T(u_i)$是基向量的线性组合，所以矩阵$A$的第$i$列就是$T(u_i)$在基${u_1,u_2,u_3}$下的坐标，即：

A = [
    [ 1,  0, -1],
    [-1,  2,  3],
    [-1, -6, -5]
]

2. 求解零空间（核空间） #

零空间是所有满足$T(v)=0$的向量$v=x_1u_1+x_2u_2+x_3u_3$的集合，等价于解齐次方程组$A\begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix}$。对矩阵$A$做行初等变换化简：

• 第二行 = 第二行 + 第一行，得到$\begin{bmatrix}0&2&2\end{bmatrix}$，再除以2得$\begin{bmatrix}0&1&1\end{bmatrix}$
• 第三行 = 第三行 + 第一行，得到$\begin{bmatrix}0&-6&-6\end{bmatrix}$，再加上6倍的化简后第二行，得到$\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}$

化简后的方程组为：
$$
\begin{cases}
x_1 - x_3 = 0 \
x_2 + x_3 = 0
\end{cases}
$$
令$x_3=k$（$k$为任意常数），则$x_1=k$，$x_2=-k$，所以零空间的向量可表示为$v=ku_1 - ku_2 + ku_3 = k(u_1 - u_2 + u_3)$。

因此，零空间的基为${u_1 - u_2 + u_3}$，零度（零空间的维数）为1。

3. 求解像空间（值域） #

像空间是$T(u_1), T(u_2), T(u_3)$张成的空间，也就是矩阵$A$的列空间。从行变换结果可知，矩阵$A$的秩为2（有2个非零行），说明这三个向量中任意2个线性无关的向量都可以作为像空间的基。比如选取：

• $T(u_1)=u_1 - u_2 - u_3$
• $T(u_2)=2u_2 - 6u_3$

验证线性无关：假设$a(u_1 - u_2 - u_3) + b(2u_2 - 6u_3)=0$，整理得$a u_1 + (-a+2b)u_2 + (-a-6b)u_3=0$。因为${u_1,u_2,u_3}$是基，所以系数必须全为0，解得$a=0$，$b=0$，确实线性无关。

因此，像空间的基可以取${u_1 - u_2 - u_3, 2u_2 - 6u_3}$，秩（像空间的维数）为2。

4. 验证秩-零度定理 #

向量空间$V$的维数是3，而秩+零度=2+1=3，符合秩-零度定理，说明结果正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Justtryingtodomath