嘿，这个问题问得挺有意思的！当然存在这样的函数，而且我们可以基于有理数的基本性质，给出严格的公式化定义，完全不需要依赖迭代类的算法。

先明确前提：有理数的唯一既约表示 #

首先，数论里有个核心结论：每个有理数都有唯一的既约分数表示——也就是说，对任意有理数$p$，存在唯一的整数对$(n,d)$满足：

• $p = \frac{n}{d}$
• $\gcd(n,d) = 1$（分子分母互质）
• $d > 0$（分母取正整数）

这个唯一性是我们定义函数$f(p)$和$g(p)$的核心依据。

分母函数$f(p)$：最简形式的最小正分母 #

直接基于上面的唯一表示，我们可以这样定义$f(p)$：

$f(p)$等于$p$的唯一既约分数表示中的正分母$d$

如果要更“公式化”地描述（不用枚举步骤），也可以用数论中的最小倍数概念：
$f(p)$是满足$m \cdot p \in \mathbb{Z}$的最小正整数$m$。

举几个例子验证：

• 对于$p = \frac{4}{6}$，满足$m \cdot p$是整数的最小正整数$m$是3，对应最简分母3，正确。
• 对于整数$p=7$，最小的$m$是1，所以$f(7)=1$，符合整数的最简分母为1的常识。
• 对于$p=-\frac{5}{10}$，最小的$m$是2，所以$f(p)=2$，对应最简形式$-\frac{1}{2}$的分母，正确。

分子函数$g(p)$：最简形式的分子 #

同样基于唯一既约表示，$g(p)$就是这个表示中的分子$n$，它满足：

• $g(p) = p \cdot f(p)$（因为$p = \frac{g(p)}{f(p)}$）
• $\gcd(g(p), f(p)) = 1$（互质）

同样用例子验证：

• $p = \frac{4}{6}$，$g(p) = \frac{4}{6} \times 3 = 2$，对应最简分子2，正确。
• $p=-\frac{5}{10}$，$g(p) = -\frac{5}{10} \times 2 = -1$，对应最简分子-1，正确。
• 整数$p=7$，$g(p)=7 \times 1 =7$，完美匹配。

补充：用素因子分解的公式化表达 #

如果喜欢用素因子分解的形式，也可以这样写：
把非零有理数$p$分解为素因子的幂次乘积：
$p = \pm \prod_{q \text{ prime}} q^{k_q}$，其中$k_q$是整数（可正可负）

那么：

• $f(p) = \prod_{q \text{ prime}, k_q < 0} q^{-k_q}$（只取负指数的素数，指数取绝对值相乘）
• $g(p) = \pm \prod_{q \text{ prime}, k_q > 0} q^{k_q}$（只取正指数的素数相乘，保留原符号）

比如$p = \frac{8 \times 5}{9} = 2^3 \times 3^{-2} \times 5^{1$，那么$f(p)=3}2=9$，$g(p)=2^3 \times5=40$，对应最简形式$\frac{40}{9}$，完全正确。

总结 #

不管用哪种方式，这两个函数都是良定义的——因为有理数的既约表示是唯一的，所以$f(p)$和$g(p)$对每个有理数都有唯一确定的值，完全符合你要的“公式化（非算法化）”要求，不需要一步步约分计算，而是基于数论的基本定理直接定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者axolotl