这个问题刚好可以用边界附近的法向-切向参数化来解决——也就是你提到的广义极坐标思路，核心是把$\Omega_\epsilon$内的点用「边界上的投影点+到边界的法向距离」唯一表示，结合变量替换来计算积分，具体步骤如下：

1. 建立参数化映射 #

题目已经给出边界光滑且$\epsilon$足够小，这保证了$\Omega_\epsilon$内的每个点$x$都能唯一对应到边界上的投影点$p(x)$，以及法向距离$t=d(x)$。我们可以定义一个微分同胚映射：

Φ(p, t) = p + t·n(p)

这里n(p)是$\partial\Omega$在$p$点的单位内法向量（对应题目里的$-\hat{n}(p(x))$，因为题目中的$\hat{n}$是外法向）。这个映射的意义是：从边界点$p$出发，沿着内法向移动$t$距离，就得到$\Omega_\epsilon$内的点$x$，刚好满足$d(x)=t$。

因为$\epsilon$足够小，这个映射不会出现重叠，是一一对应的，完全符合变量替换的要求。

2. 计算雅可比行列式 #

变量替换的关键是求映射$\Phi$的雅可比行列式$\det(DΦ(p,t))$。对于光滑边界，我们可以用局部坐标系推导：
在$p$点附近，把$\partial\Omega$局部参数化为曲线/曲面坐标（比如弧长参数$s$），则$\Phi$的局部参数为$(s, t)$，对应的雅可比行列式可以展开为：

det(DΦ) = 1 - t·H(p) + o(t)

其中H(p)是$\partial\Omega$在$p$点的平均曲率（2D平面中就是曲线的曲率，3D空间中是曲面的平均曲率）。当$\epsilon$很小时，$t$是小量，高阶项$o(t)$可以忽略，用一阶近似$1 - t·H(p)$就足够精确。

如果需要精确表达式，雅可比行列式也可以写成指数形式：J(p,t) = exp( -t ∫₀ᵗ H(p + s·n(p)) ds )，不过在$\epsilon$很小的场景下，一阶近似已经够用。

3. 变量替换转化积分 #

把原积分的变量从$x$替换为$(p, t)$（其中$p\in\partial\Omega$，$t\in(0,\epsilon)$），则积分转化为累次积分：

∫_{Ω_ε} f(d(x)) dx = ∫_{∂Ω} [ ∫₀^ε f(t) · J(p,t) dt ] dS(p)

这里dS(p)是边界$\partial\Omega$上的面积元（2D中是弧长元ds，3D中是曲面面积元dS）。

如果用一阶近似简化雅可比，积分可以拆分为两项：

∫_{∂Ω} [ ∫₀^ε f(t)(1 - t·H(p)) dt ] dS(p) = (∫₀^ε f(t) dt) · (∫_{∂Ω} dS(p)) - (∫₀^ε t·f(t) dt) · (∫_{∂Ω} H(p) dS(p))

其中$\int_{∂Ω} dS(p)$就是边界的总面积/总长度，$\int_{∂Ω} H(p) dS(p)$是边界的平均曲率积分，这个值可以通过高斯-博内定理计算（比如2D闭曲线的曲率积分是$2\pi$，3D球面的平均曲率积分是$4\pi$）。

4. 特殊场景简化 #

• 如果$f(t)$是常数$C$，积分结果就是$C$乘以$\Omega_\epsilon$的体积，近似为C·[ε·Area(∂Ω) - (ε²/2)·∫_{∂Ω}H(p)dS(p)]，和上述推导完全一致。
• 对于2D平面区域，$\partial\Omega$是闭曲线，dS(p)=ds，H(p)=k(p)（曲线曲率），积分直接简化为∫_{∂Ω} [∫₀^ε f(t)(1 - t k(p)) dt ] ds。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Doee