嘿，这个问题其实就是向量几何的基础应用，一步步拆解下来超清晰，我给你捋明白具体怎么做：

第一步：明确已知变量 #

先把所有已知条件用清晰的符号定义好，避免混乱：

• 圆1的圆心坐标：C₁ = (x₁, y₁)，半径：r₁
• 圆2的圆心坐标：C₂ = (x₂, y₂)，半径：r₂

第二步：计算连心线的核心参数 #

首先算出两圆心之间的方向向量和距离：

• 从C₁指向C₂的向量：V = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)
• 两圆心的直线距离（向量V的模长）：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

  注意：如果d=0，说明两圆心重合，此时直线与圆的交点要么有无数个（两圆重合），要么没有（半径不等），这种特殊情况咱们暂时先排除，默认d>0。

第三步：得到单位方向向量 #

把方向向量V转换成单位向量u（长度为1的向量，方便后续按半径长度移动）：
u = ( (x₂ - x₁)/d , (y₂ - y₁)/d )

第四步：计算两个交点坐标 #

现在就可以直接算出每个圆上的目标交点了：

• 圆1上的交点：从C₁出发，沿着连心线指向C₂的方向移动r₁的距离，坐标为：
  P₁ = (x₁ + r₁*(x₂ - x₁)/d , y₁ + r₁*(y₂ - y₁)/d )
• 圆2上的交点：从C₂出发，沿着连心线指向C₁的方向移动r₂的距离，坐标为：
  P₂ = (x₂ - r₂*(x₂ - x₁)/d , y₂ - r₂*(y₂ - y₁)/d )

举个实际例子验证 #

假设：

• C₁=(0,0)，r₁=2
• C₂=(5,0)，r₂=1

计算过程：

• V=(5-0, 0-0)=(5,0)
• d=√(5²+0²)=5
• u=(5/5, 0/5)=(1,0)
• P₁=(0 + 21, 0 + 20)=(2,0)
• P₂=(5 - 11, 0 - 10)=(4,0)

你看，这两个点正好在连心线（x轴）上，分别在两个圆的圆周上，完全符合要求～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sanky