让我们一步步拆解这个问题，先搞清楚核心的计算逻辑：

• 对于划分里的每个项$n_i$，求和式中的$\lfloor \frac{n_i}{2} \rfloor +1$其实可以简化理解：$n_i=1$时值为1，$n_i=2/3$时值为2，$n_i=4/5$时值为3，以此类推——每两个连续的自然数对应同一个贡献值。
• 求和的上限是$\lfloor \frac{k}{2} \rfloor +1$，说白了就是取划分的「前半多一个」项：比如划分有4个项就取前3个，有5个项取前3个，有3个项取前2个。

我们的目标就是找到N的一个划分，让这部分前半项的贡献总和最大。

先拿几个小的N值试手，直观感受最优划分的特点：

• N=1：唯一划分是[1]，求和结果为1，这就是最大值。
• N=3：划分[2,1]的求和是2+1=3，比单一项[3]的求和2更大——把大项拆成小项，虽然单个项的贡献没提升，但求和的项数变多了，总和反而上涨。
• N=6：划分[2,2,1,1]的求和是2+2+1=5，比全是2的划分[2,2,2]的求和4更大——这里把一个2拆成两个1，虽然单个项的贡献从2降到1，但划分的项数从3变4，求和上限从2变3，多了一个1的贡献，总和反而增加了1。
• N=7：划分[2,2,2,1]的求和是2+2+2=6，是最大的——这时候多拆出2能让前m项都是高贡献的2，比拆成1更划算。

经过反复验证，最优的划分思路可以总结为：

1. 优先尽可能多地用2来构造划分，剩下的部分用1填充；
2. 当N是3的倍数时（比如N=3,6,9...），要把其中一个2拆成两个1——这样划分的项数会增加，求和上限也会跟着提升，多出来的1的贡献能让总和再涨1。

推导后，任意自然数N对应的求和最大值可以用这个简洁公式表示：
$$
\left\lceil \frac{2(N+1)}{3} \right\rceil
$$
或者分情况写得更直白：

• 当$N \equiv 0 \pmod{3}$时，最大值为$\frac{2N}{3} +1$；
• 当$N \equiv 1 \pmod{3}$或$N \equiv 2 \pmod{3}$时，最大值为$\frac{2N + 2}{3}$（结果取整数）。

举几个验证例子：

• N=3：$\lceil 2*(3+1)/3 \rceil = \lceil 8/3 \rceil=3$，正确；
• N=6：$\lceil 2*(6+1)/3 \rceil=\lceil14/3\rceil=5$，正确；
• N=7：$\lceil2*(7+1)/3\rceil=\lceil16/3\rceil=6$，正确；
• N=5：$\lceil2*(5+1)/3\rceil=\lceil12/3\rceil=4$，正确。

要构造出能得到最大值的划分，直接按以下方式来：

• 如果N=3t：做t个2 + t个1的划分（比如N=6→[2,2,1,1]）；
• 如果N=3t+1：做t+1个2 + t-1个1的划分（比如N=7→[2,2,2,1]，N=4→[2,2]）；
• 如果N=3t+2：做t+1个2 + t个1的划分（比如N=5→[2,2,1]，N=8→[2,2,2,1,1]）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Dilemian