我来帮你搞定这个二次丢番图方程的证明问题！你提到试过模3、4等模运算和判别式没成功，还注意到了非正整数解$(-1,2)$，咱们从因式分解与互素性分析入手，这是解决这类乘积为平方数问题的核心突破口。

步骤1：分析两个因子的最大公约数 #

设$d = \gcd(5m+3, 3m+1)$，根据最大公约数的性质，$d$能整除两个因子的线性组合：

5*(3m+1) - 3*(5m+3) = 15m+5 -15m-9 = -4

因此$d$只能是1、2或4，我们分这三种情况逐一讨论：

情况1：$d=1$ #

当两个互素的正整数乘积为平方数时，每个因子本身必须是平方数（数论基本结论：互素因子的平方数乘积，每个因子必为平方数）。设：

• $5m+3 = a^2$（$a$为正整数）
• $3m+1 = b^2$（$b$为正整数）
• 显然$ab = n$

用第一个式子减去第二个式子，整理得：
$$2m+2 = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \implies m+1 = \frac{(a-b)(a+b)}{2}$$
再从$5m+3=a^2$解出$m = \frac{a^2 -3}{5}$，代入上式：
$$\frac{a^2 -3}{5} + 1 = \frac{(a-b)(a+b)}{2} \implies 2(a^2 + 2) = 5(a-b)(a+b)$$

左边是偶数，右边的5是奇数，因此$(a-b)(a+b)$必须是偶数，说明$a$和$b$同奇偶（若奇偶性不同，差与和均为奇数，乘积为奇数，矛盾）。设$a-b=2k$，$a+b=2l$（$l>k>0$，且$\gcd(k,l)=1$，因为$a,b$互素），代入上式：
$$2(a^2 + 2) = 5*4kl \implies a^2 + 2 = 10kl$$
又因为$a = k+l$，代入得：
$$(k+l)^2 + 2 = 10kl \implies k^2 -8kl + l^2 +2 =0 \implies (k-4l)^2 -15l^2 = -2$$

现在看模5的情况：左边$(k-4l)^2 -15l^2 \equiv (k-4l)^2 \equiv -2 \equiv 3 \pmod{5}$，但平方数模5只能是0、1、4，3不是平方剩余，矛盾！因此该情况无正整数解。

情况2：$d=2$ #

此时两个因子都是2的倍数，且$\gcd(\frac{5m+3}{2}, \frac{3m+1}{2})=1$，它们的乘积是$(\frac{n}{2})^2$（平方数），因此每个因子必为平方数：

• $\frac{5m+3}{2} = a^2$（$a$为正整数）
• $\frac{3m+1}{2} = b^2$（$b$为正整数）

两式相减得$m+1 = a^2 - b^2$，从第一个式子解出$m = \frac{2a^2 -3}{5}$，代入后整理得：
$$2(a^2 +1) =5(a-b)(a+b)$$

同样，左边是偶数，故$(a-b)(a+b)$为偶数，$a,b$同奇偶。设$a-b=2k$，$a+b=2l$（$\gcd(k,l)=1$），代入得：
$$a^2 +1 =10kl \implies (k+l)^2 +1 =10kl \implies (k-4l)^2 -15l^2 = -1$$

看模4的情况：左边$(k-4l)^2 -15l^2 \equiv k^2 - (-l^2) =k^2 +l^2 \equiv -1 \equiv3 \pmod{4}$，但平方数模4只能是0或1，两个平方数之和最大为2，不可能等于3，矛盾！该情况无正整数解。

情况3：$d=4$ #

此时两个因子都是4的倍数，验证模4条件：

• $5m+3 \equiv0 \pmod{4} \implies m\equiv1 \pmod{4}$
• $3m+1 \equiv0 \pmod{4} \implies m\equiv1 \pmod{4}$，条件一致

此时$\gcd(\frac{5m+3}{4}, \frac{3m+1}{4})=1$，它们的乘积是$(\frac{n}{4})^2$（平方数），故每个因子必为平方数：

• $\frac{5m+3}{4}=a^2$（$a$为正整数）
• $\frac{3m+1}{4}=b^2$（$b$为正整数）

两式相减得$\frac{m+1}{2}=a^2 -b^{2$，即$m=2(a}2 -b^2)-1$，代入第一个式子整理得：
$$3a^2 -5b^2 =1$$

看模5的情况：$3a^2 \equiv1 \pmod{5} \implies a^2 \equiv2 \pmod{5}$，但平方数模5只能是0、1、4，2不是平方剩余，矛盾！该情况也无正整数解。

结论 #

所有可能的最大公约数情况都导出了矛盾，因此不存在正整数m、n满足原方程。你提到的$(-1,2)$是方程的解，但$m=-1$不是正整数，正整数解确实不存在。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Max Freiburghaus