嘿，这个问题问到点子上了，正好是《Linear Algebra Done Right》第八章里的核心知识点！我来一步步给你拆解清楚：

先直接回应你的核心疑问 #

是的，对于有限维复向量空间上的算子$T \in \mathcal{L}(V)$，如果$T$在某个基下的矩阵是上三角矩阵，特征值$\lambda$的代数重数恰好等于该上三角矩阵对角线上$\lambda$出现的次数。而你提到的“$T$在任意基下的矩阵均为上三角矩阵”这个强条件，其实隐含了$T$是标量乘法算子（后面我会补充说明），不过这不影响我们的证明逻辑。

证明过程（先从0特征值入手，再推广到任意$\lambda$） #

题目要求证明：当$T$在任意基下的矩阵都是上三角矩阵时，对角线上$\lambda$的次数等于$\lambda$的代数重数。我们先聚焦0特征值的情况（因为任意$\lambda$都可以通过平移算子转化为0的情况）：

首先回忆两个关键定义：

• 0的代数重数等于其广义特征空间$G(0, T) = \bigcup_{k=1}^\infty \text{null } T^k$的维数（复向量空间中，广义特征空间的维数就是对应特征值的代数重数）。
• 设$T$在某基下的上三角矩阵为$A$，对角线上有$m$个0元素。

我们需要证明$\dim G(0, T) = m$，分两步走：

第一步：$\dim G(0, T) \leq m$ #

把上三角矩阵$A$分块：
$$A = \begin{pmatrix} 0_m & B \ 0 & C \end{pmatrix}$$
其中$0_m$是$m \times m$零矩阵，$C$是$(n-m) \times (n-m)$的上三角矩阵，且$C$的对角线上没有0（因为$A$总共只有$m$个0在对角线上），所以$C$是可逆矩阵。

对任意向量$v \in V$，写成分块形式$(v_1, v_2)^T$（$v_1 \in \mathbb{C}^m$，$v_2 \in \mathbb{C}^{{n-m}$），则$T}k v = (0, C^k v_2)^T$。如果$v \in G(0, T)$，则存在$k$使得$T^k v = 0$，即$C^k v_2 = 0$。但$C$可逆意味着$C^k$也可逆，所以必须$v_2 = 0$，即$v$属于前$m$个基向量张成的子空间，因此$\dim G(0, T) \leq m$。

第二步：$\dim G(0, T) \geq m$ #

看前$m$个基向量$e_1, e_2, ..., e_m$：

• $T e_1 = 0$（上三角矩阵第一列只有第一个元素是0，其余都是0）
• $T e_2 = a_{12} e_1$，所以$T^2 e_2 = T(a_{12}e_1) = 0$
• $T e_3 = a_{13} e_1 + a_{23} e_2$，所以$T^3 e_3 = 0$
• ...
• $T e_m = a_{1m} e_1 + ... + a_{(m-1)m} e_{m-1}$，所以$T^m e_m = 0$

显然这$m$个向量都属于$G(0, T)$，而且它们本身是基的一部分，线性无关，因此$\dim G(0, T) \geq m$。

结合两步，$\dim G(0, T) = m$，也就是0的代数重数等于对角线上0的个数。

推广到任意特征值$\lambda$ #

对任意$\lambda$，考虑算子$S = T - \lambda I$。因为$T$的矩阵是上三角，$S$的矩阵就是$A - \lambda I$，依然是上三角矩阵，对角线元素为$a_{ii} - \lambda$。$\lambda$是$T$的特征值当且仅当0是$S$的特征值，且$\lambda$的代数重数等于0作为$S$的特征值的代数重数。根据上面的结论，这个重数等于$S$的矩阵对角线上0的个数，也就是$A$的对角线上$\lambda$的个数。

补充：关于“任意基下都是上三角矩阵”的小说明 #

这个条件其实非常强——只有标量乘法算子$T = \lambda I$才能满足。理由很简单：如果$T$不是标量算子，那一定存在向量$v$使得$Tv$不是$v$的倍数，取基${v, Tv, v_3, ..., v_n}$，那么$T$在这个基下的矩阵中，第一行第二列的元素非零，就不是上三角矩阵了。所以题目大概率是想表达“$T$在某个基下的矩阵为上三角矩阵”（这是复向量空间上算子的普遍性质，因为复空间上每个算子都能找到上三角矩阵表示），不过不管哪种情况，我们的证明逻辑都完全成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anu