问题描述 #

给定数列${a_n}$满足递推关系：
$$a_1 = 1, \quad a_{n+1} = \frac{3n-1}{3n} a_n + \frac{1}{n^2}, \quad \forall n\ge 1$$
通过MATLAB数值计算猜测极限为0，但数列收敛速度极慢，下面我们从理论上严谨证明极限确实是0，并解释收敛慢的原因。

步骤1：分析齐次递推的解 #

首先看对应的齐次递推方程：
$$a_{n+1}^h = \frac{3n-1}{3n} a_n^h$$
齐次解可以通过累乘法得到：
$$a_n^h = a_1 \cdot \prod_{k=1}^{n-1} \frac{3k-1}{3k} = \prod_{k=1}^{n-1} \left(1 - \frac{1}{3k}\right)$$

对乘积取自然对数：
$$\ln\left(a_n^h\right) = \sum_{k=1}^{n-1} \ln\left(1 - \frac{1}{3k}\right)$$
利用泰勒展开$\ln(1-x) \approx -x - \frac{x^2}{2} - \cdots$（$x$趋近于0），当$k$较大时，$\ln\left(1 - \frac{1}{3k}\right) \approx -\frac{1}{3k}$，而调和级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$发散到$+\infty$，因此：
$$\ln\left(a_n^h\right) \approx -\frac{1}{3} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \to -\infty \quad (n\to\infty)$$
这说明齐次解$a_n^h \to 0$，且收敛速度是$n^{{-1/3}$量级（因为$\sum_{k=1}}{n-1}\frac{1}{k} \approx \ln n + \gamma$，所以$\ln(a_n^h)\approx -\frac{1}{3}\ln n$，即$a_n^h \approx C n^{-1/3}$，$C$为常数）。

步骤2：求解非齐次递推的通解 #

对于线性非齐次递推$a_{n+1}=P(n)a_n+Q(n)$，通解公式为：
$$a_n = \left(a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{Q(k)}{\prod_{i=1}^k P(i)}\right) \cdot \prod_{i=1}^{n-1} P(i)$$
这里$P(k)=\frac{3k-1}{3k}$，$Q(k)=\frac{1}{k^2}$，代入得：
$$\frac{Q(k)}{\prod_{i=1}^k P(i)} = \frac{1}{k^2} \cdot \prod_{i=1}^k \frac{3i}{3i-1} = \frac{1}{k^2} \cdot \prod_{i=1}^k \left(1 + \frac{1}{3i-1}\right)$$

同样用对数估计这个乘积：
$$\ln\left(\prod_{i=1}^k \left(1 + \frac{1}{3i-1}\right)\right) = \sum_{i=1}^k \ln\left(1 + \frac{1}{3i-1}\right) \approx \sum_{i=1}^k \frac{1}{3i-1} \approx \frac{1}{3}\ln k + C'$$
因此$\prod_{i=1}^k \left(1 + \frac{1}{3i-1}\right) \approx C'' k^{1/3}$（$C''$为常数），进而通项：
$$\frac{Q(k)}{\prod_{i=1}^k P(i)} \approx \frac{C'' k^{1/3}}{k2} = C'' k^{-5/3}$$
由于级数$\sum_{k=1}^\infty k^{-5/3}$是收敛的（$p$-级数，$p=5/3>1$），记其和为$S$，则当$n\to\infty$时：
$$a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{Q(k)}{\prod_{i=1}^k P(i)} \to 1 + S$$
这是一个有限常数。

步骤3：结论：数列极限为0 #

结合齐次解的收敛性，通解可以写成：
$$a_n = (常数 + o(1)) \cdot a_n^h$$
而$a_n^h \to 0$，因此$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，和MATLAB数值猜测的结果一致。

为什么收敛速度极慢？ #

从上面的分析可知，$a_n$的量级约为$C n^{-1/3}$，这是一种非常缓慢的收敛速度——比如要让$a_n < 0.1$，需要$n > (C/0.1)^3$，如果$C$是1左右，那$n$需要达到1000；要让$a_n < 0.01$，则$n$需要达到1e6，这就解释了为什么MATLAB计算时会感觉收敛很慢。

MATLAB数值验证代码 #

可以用这段代码直观观察数列的收敛情况：

a = 1; % 初始项
for n = 1:100000
    a = (3*n - 1)/(3*n)*a + 1/(n^2);
    if mod(n, 10000) == 0
        fprintf('n = %d, a_n = %.6f\n', n, a);
    end
end

运行后会看到，当$n=100000$时，$a_n$大概在0.1左右，确实收敛得很慢。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tien Kha Pham